Pré-Vestibular ⇒ (UFU-MG–2006) Esferas Tópico resolvido

[olhaavista]

Uma esfera maciça de ferro de raio 10 cm será fundida e todo o material derretido será usado na confecção de um cilindro circular e de um cone circular, ambos maciços com raio da base r cm e altura também r cm. Não havendo perda de material durante o processo, r será igual a:
A) 4 cm.
B) 8 cm.
C) 12 cm.
D) 10 cm.

Resposta

---

D

[castelohsi]

Calculando o volume da esfera:

[tex3]V=\frac{4\pi 10^{3}}{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]V=\frac{4\pi 10^{3}}{3}[/tex3]

=> [tex3]V=\frac{4000\pi }{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]V=\frac{4000\pi }{3}[/tex3]

Teremos um cone circular de altura igual ao raio, o volume será [tex3]V'=\frac{\pi r^{3}}{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]V'=\frac{\pi r^{3}}{3}[/tex3]

.
Também teremos um cilindro de raio igual a altura, o volume será: [tex3]V''=\pi r^{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]V''=\pi r^{3}[/tex3]

O volume desses dois sólidos deverá ser igual ao volume da esfera, isto é: [tex3]V'+V''=V[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]V'+V''=V[/tex3]

[tex3]\frac{\pi r^{3}}{3}+\pi r^{3}=\frac{4000\pi }{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\pi r^{3}}{3}+\pi r^{3}=\frac{4000\pi }{3}[/tex3]

[tex3]\frac{4\pi r^{3}}{3}=\frac{4000\pi }{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{4\pi r^{3}}{3}=\frac{4000\pi }{3}[/tex3]

[tex3]4r^{3}=4000[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]4r^{3}=4000[/tex3]

.:. [tex3]r=10cm[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]r=10cm[/tex3]