Pré-Vestibular ⇒ (UFRJ) Números naturais, divisão

[mclaratrajano]

(UFRJ) Um número natural deixa resto 3, quando dividido por 7, e resto 5, quando dividido por 6. Qual o resto da divisão desse número por 42?

Resposta

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17

alguém pode me explicar qual o raciocínio necessário para poder resolver essa questão?

[PeterPark]

Para exemplificar, divida 7 por 2. O resultado é 3 e sobra um resto de 1.
O 7 pode ser representado como:
[tex3]7= 2\cdot3+1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]7= 2\cdot3+1[/tex3]

Que é o divisor multiplicado pelo quociente, e somado ao resto.

O número é dividido por 7 e 6. Os restos são 3 e 5, respectivamente:
[tex3]N = 7\cdot Q+3 \\ N=6\cdot Q+5[/tex3]

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[tex3]N = 7\cdot Q+3 \\ N=6\cdot Q+5[/tex3]

Assumi que o quociente é o mesmo, já que o exercício só informou que N foi dividido por 7 e 6.
Resolvendo o sistema acima:
[tex3]7Q+3=6Q+5 ~~~~ \rightarrow ~~~~ Q=2 [/tex3]

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[tex3]7Q+3=6Q+5 ~~~~ \rightarrow ~~~~ Q=2 [/tex3]

Agora podemos descobrir N:
[tex3]N = 7\cdot 2+3 = \bf 17[/tex3]

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[tex3]N = 7\cdot 2+3 = \bf 17[/tex3]

Dividimos 17 por 42, a divisão inteira tem quociente 0 e resto 17.

[Deleted User 25040]

[tex3]n=7a+3[/tex3]

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[tex3]n=7a+3[/tex3]

[tex3]7a+3\equiv5(\mod6)\\
a\equiv 2(\mod6)\\a = 2+6b\\
n = 42b+2\cdot7 + 3=42b + 17[/tex3]

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[tex3]7a+3\equiv5(\mod6)\\
a\equiv 2(\mod6)\\a = 2+6b\\
n = 42b+2\cdot7 + 3=42b + 17[/tex3]

logo n deixa resto 17
não sei muito de vestibular mas acho que não costumam cobrar congruência (o que eu usei para resolver).
acho que algum colégios ensinam (não vi no meu, acho que colegios militares ensinam) mas não lembro de muitas questões de vestibular que usam, vou tentar encontrar uma solução que use conteúdos que caem com mais frequência.

[PeterPark]

logo n deixa resto 17

Ah sim, entendi.
Logo N deixa resto 17. Perfeita solução. De fato a minha solução está errada.

[mclaratrajano]

logo n deixa resto 17

Ah sim, entendi.
Logo N deixa resto 17. Perfeita solução. De fato a minha solução está errada.

A sua está errada por quê? Tive o mesmo raciocínio que você teve, mas não consegui entender a resolução do amigo com o nickname "null".

[Deleted User 25040]

o problema de supor que o quociente é igual é que dependendo do divisor o quociente pode ser racional.
exemplo: n deixa resto 1 na divisão por 7 e n deixa resto 2 na divisão por 5, qual o resto da divisão de n quando dividido por 35?
[tex3]7q+1=5q+2\\
2q=2-1=1\\
q=\frac12\implies n= \frac{7}{2}+1\notin\mathbb{N}[/tex3]

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[tex3]7q+1=5q+2\\
2q=2-1=1\\
q=\frac12\implies n= \frac{7}{2}+1\notin\mathbb{N}[/tex3]

enquanto deveríamos ter
[tex3]n=7a+1\equiv2(\mod5)\\2a\equiv1(\mod5)\implies6a\equiv a\equiv 3(\mod5)\\
a = 3+5b, b\in\mathbb{Z}\\
n = 7(3+5b)+1=35b+22[/tex3]

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[tex3]n=7a+1\equiv2(\mod5)\\2a\equiv1(\mod5)\implies6a\equiv a\equiv 3(\mod5)\\
a = 3+5b, b\in\mathbb{Z}\\
n = 7(3+5b)+1=35b+22[/tex3]

ou seja, n deixa resto 22 na divisão por 35

[Deleted User 25040]

o jeito mais comum de resolver esse tipo de problema é achar um número que ao somarmos a n essa soma seja divisível por 5 e por 7
[tex3]n+c=7q_1+3+c=7k_1[/tex3]

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[tex3]n+c=7q_1+3+c=7k_1[/tex3]

[tex3]n+c=6q_2+5+c=6k_2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n+c=6q_2+5+c=6k_2[/tex3]

mas nesse problema em especifico não é tão claro qual número a gente deve somar.
vc sabe alguma coisa sobre divisibilidade? que dai dá para achar esse c. (na verdade congruência é um caso especifico de divisibilidade)

[mclaratrajano]

o jeito mais comum de resolver esse tipo de problema é achar um número que ao somarmos a n essa soma seja divisível por 5 e por 7
[tex3]n+c=7q_1+3+c=7k_1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n+c=7q_1+3+c=7k_1[/tex3]

[tex3]n+c=6q_2+5+c=6k_2[/tex3]

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[tex3]n+c=6q_2+5+c=6k_2[/tex3]

mas nesse problema em especifico não é tão claro qual número a gente deve somar.
vc sabe alguma coisa sobre divisibilidade? que dai dá para achar esse c. (na verdade congruência é um caso especifico de divisibilidade)

Então, a gente estuda isso no Ensino Médio ou no Ensino Fundamental? Isso de congruência na parte de divisibilidade? Porque eu nunca ouvi falar sobre isso de "mod 5", ou "mod 3", como vc fez nas soluções supracitadas. KKKK Mas sou péssima em matemática. Estou estudando a matemática básica e, até agora, sobre divisibilidade eu só vi sobre "critérios de divisibilidade", tipo, como saber se um número pode ser divisível por 3, 4, 5 etc, sem precisar fazer a divisão. Tu podes me dizer o que eu devo procurar para entender isso de congruência? Tipo, qual o nome desse tópico para eu poder ver aulas sobre? Estou me deparando com diversas questões desse estilo mas não consigo resolvê-las, e as resoluções da internet não são muito claras.