Pré-Vestibular ⇒ UFPR (2020) - Trajetória em superfície de cubo Tópico resolvido

[matjevs]

Considere o cubo de aresta 2 cm na figura ao lado, em que os pontos P e Q são vértices do cubo e N é o centro de uma das faces. Duas partículas A e B se deslocam sobre a superfície do cubo, percorrendo o caminho mais curto possível. A partícula A inicia sua trajetória em P e encerra em Q, e a partícula B vai do ponto P ao ponto N e em seguida ao ponto Q. Qual é a diferença em módulo, em cm, entre as distâncias percorridas pelas duas partículas?
a) 6 + √2 - √5.
b) 2+2√2 - 2√5.
c) 4 + √2.
d) 4+2√2.
e) √2 + √10 - 2√5.

o desenho é este:

________
/ N /|
P/_______/ |
| | |Q
| | /
|_______|/

quero saber se o resultado dá mesmo letra e). tentei resolver no vestibular ontem, mas não consegui. para mim, os dois caminhos são iguais, visto que ele fala em caminhar pela superfície (não pode cortar caminho pela diagonal do cubo) e sempre o menor caminho possível.

[petras]

matjevs,

Trajetória A(PQ):
[tex3]\triangle PCQ: PC^2+CQ^2 =PQ~2\rightarrow 4^2+2^2 = PQ^2 \therefore \boxed{PQ = 2\sqrt{5}} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\triangle PCQ: PC^2+CQ^2 =PQ~2\rightarrow 4^2+2^2 = PQ^2 \therefore \boxed{PQ = 2\sqrt{5}} [/tex3]

Trajetória B (PN - NQ)
[tex3]\triangle PMN: PN^2=PM^2+MN^2 \rightarrow PN^2 = 1^2+1^2\therefore \boxed{PN=\sqrt{2}}\\
\triangle BNQ:NQ^2 = BN^2+BQ^2\rightarrow NQ^2 = 1^2+3^2 \therefore \boxed{NQ = \sqrt{10}}\\
\therefore \boxed{PQ' =\sqrt{2}+\sqrt{10}}\\
\boxed{\color{red}PQ'-PQ =\sqrt{2}+\sqrt{10}-2\sqrt{5}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\triangle PMN: PN^2=PM^2+MN^2 \rightarrow PN^2 = 1^2+1^2\therefore \boxed{PN=\sqrt{2}}\\
\triangle BNQ:NQ^2 = BN^2+BQ^2\rightarrow NQ^2 = 1^2+3^2 \therefore \boxed{NQ = \sqrt{10}}\\
\therefore \boxed{PQ' =\sqrt{2}+\sqrt{10}}\\
\boxed{\color{red}PQ'-PQ =\sqrt{2}+\sqrt{10}-2\sqrt{5}}[/tex3]