Pré-Vestibular ⇒ Área e perímetro de figura plana Tópico resolvido

[gab1234]

Os segmentos AP e AQ dividem o paralelogramo ABCD em 3 partes equivalentes (mesma área). Se o perímetro do paralelogramo é 12 cm, pode-se afirmar que PC + CQ é igual a:

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Resposta

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2cm

[deOliveira]

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Note que sendo [tex3]BP[/tex3]

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[tex3]BP[/tex3]

a base do triângulo [tex3]ABP[/tex3]

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[tex3]ABP[/tex3]

temos que a altura desse triângulo é [tex3]h[/tex3]

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[tex3]h[/tex3]

, logo:
[tex3]\frac12(a-PC)h=\frac13ah\\\implies3a-3PC=2a\\\therefore PC=\frac a3 [/tex3]

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[tex3]\frac12(a-PC)h=\frac13ah\\\implies3a-3PC=2a\\\therefore PC=\frac a3 [/tex3]

Agora observando o triângulo [tex3]ADQ[/tex3]

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[tex3]ADQ[/tex3]

temos que:
[tex3]\frac12a h'=\frac13ah\\\implies h'=\frac23 h[/tex3]

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[tex3]\frac12a h'=\frac13ah\\\implies h'=\frac23 h[/tex3]

Usando semelhança (II):
[tex3]\frac bh=\frac{b-CQ}{\frac 23h}\\\implies 2b=3b-3CQ\\\therefore CQ=\frac13b[/tex3]

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[tex3]\frac bh=\frac{b-CQ}{\frac 23h}\\\implies 2b=3b-3CQ\\\therefore CQ=\frac13b[/tex3]

Dessa forma, [tex3]PC+CQ=\frac13(a+b)[/tex3]

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[tex3]PC+CQ=\frac13(a+b)[/tex3]

O perímetro é [tex3]12=2(a+b)\implies a+b=6[/tex3]

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[tex3]12=2(a+b)\implies a+b=6[/tex3]

[tex3]\therefore PC+CQ=\frac13(a+b)=\frac63=2[/tex3]

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[tex3]\therefore PC+CQ=\frac13(a+b)=\frac63=2[/tex3]

Espero ter ajudado.