Pré-Vestibular ⇒ espcex 95 Pirâmide Tópico resolvido

[LtCharly]

uma pirâmide tem por base um triângulo equilátero de lado a, e a razão entre sua aresta lateral e sua altura é k. Seu volume é:

Resposta

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[tex3]\frac{a^3}{12\sqrt{k^2-1}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{a^3}{12\sqrt{k^2-1}}[/tex3]

[JohnnyEN]

olá,

fiz um desenho para auxiliar na resolução

espcex.jpg (26.24 KiB) Exibido 577 vezes

o volume é dado por [tex3]V = \frac{1}{3}BH[/tex3]

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[tex3]V = \frac{1}{3}BH[/tex3]

já que a base é um triangulo equilátero a base é [tex3]B = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}[/tex3]

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[tex3]B = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}[/tex3]

agora achando o valor do x que está em cinza no desenho temos pela lei dos cossenos

[tex3]a^2=x^2+x^2-2x^2cos(120)\rightarrow \frac{a}{\sqrt{3}}=x[/tex3]

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[tex3]a^2=x^2+x^2-2x^2cos(120)\rightarrow \frac{a}{\sqrt{3}}=x[/tex3]

utilizando Pitágoras em l, h e x temos [tex3]l^2=x^2+h^2[/tex3]

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[tex3]l^2=x^2+h^2[/tex3]

e como [tex3]\frac{l}{h}=k\rightarrow l=hk[/tex3]

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[tex3]\frac{l}{h}=k\rightarrow l=hk[/tex3]

assim:
[tex3]h^2k^2=\frac{a^2}{3}+h^2\rightarrow h=\frac{a}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{k^2-1}}[/tex3]

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[tex3]h^2k^2=\frac{a^2}{3}+h^2\rightarrow h=\frac{a}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{k^2-1}}[/tex3]

substituindo na formula do volume:

[tex3]V =\frac{1}{3}\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\frac{a}{\sqrt{3}\sqrt{k^2-1}}[/tex3]

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[tex3]V =\frac{1}{3}\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\frac{a}{\sqrt{3}\sqrt{k^2-1}}[/tex3]

[tex3]V =\frac{a^3}{12\sqrt{k^2-1}}[/tex3]

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[tex3]V =\frac{a^3}{12\sqrt{k^2-1}}[/tex3]