Pré-Vestibular(FUVEST - 2008) Combinação Tópico resolvido

Poste aqui problemas de Vestibulares. Informe a fonte, o ano e o assunto. Exemplo: (FUVEST - 2008) Logaritmos.

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owen123
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(FUVEST - 2008) Combinação

Mensagem não lida por owen123 »

Em uma classe de 16 alunos, todos se dão bem, com exceção de Andreia, que vive brigando com 3 pessoas: Manoel, Alberto e Emilly.
Nesta turma, será organizada uma comissão de seis alunos, com a exigência de que cada membro se relacione bem com todos os
outros. Sabendo disso, responda:

a) Quantas comissões podem ser formadas?

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danjr5
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Re: (FUVEST - 2008) Combinação

Mensagem não lida por danjr5 »

Olá owen123!
owen123 escreveu:
Sáb 26 Jun, 2021 22:14
Em uma classe de 16 alunos, todos se dão bem, com exceção de Andreia, que vive brigando com 3 pessoas: Manoel, Alberto e Emilly.
Nesta turma, será organizada uma comissão de seis alunos, com a exigência de que cada membro se relacione bem com todos os
outros. Sabendo disso, responda:

a) Quantas comissões podem ser formadas?
Considerando a exigência proposta, podemos solucionar a questão separando-a em duas condições: uma em que Andreia não figura na comissão e outra em que figura.

Condição I: Andreia não faz parte da comissão, então todos se dão bem. Portanto,

Decisão 1 [tex3]\mathtt{(d_1)}[/tex3] : combinar quinze alunos em grupos de seis. [tex3]\mathtt{\# d_1 = C_{15, 6}}[/tex3] .

Isto é,

[tex3]\mathtt{C_{15, 6} = \frac{15!}{6!(15 - 6)!} = \boxed{\mathtt{5005}}}[/tex3]


Condição II: Andreia faz parte da comissão, então Emilly, Alberto e Manoel devem ficar de fora. Daí,

Decisão 2 [tex3]\mathtt{(d_2)}[/tex3] : colocar Andreia na comissão. [tex3]\mathtt{\# d_2 = 1}[/tex3] ;

Decisão 3 [tex3]\mathtt{(d_3)}[/tex3] : combinar os demais alunos, com exceção dos três alunos mencionados e da aluna escolhida em [tex3]\mathtt{d_2}[/tex3] , em grupos de cinco. [tex3]\mathtt{\# d_3 = C_{12, 5}}[/tex3] .

Então, pelo Princípio Multiplicativo (PM), temos:

[tex3]\\ \mathtt{1 \cdot C_{12, 5} = \frac{12!}{5!(12 - 5)!} = \boxed{\mathtt{792}}}[/tex3]

Por fim, pelo Princípio Aditivo (PA), concluímos que:

[tex3]\\ \mathtt{5005 + 792 =} \\\\ \boxed{\boxed{\mathtt{5797}}}[/tex3]

Espero ter ajudado!

Bons estudos.



"Sabedoria é saber o que fazer;
habilidade é saber como fazer;
virtude é fazer."
(David S. Jordan)

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