Pré-Vestibular ⇒ (UFV - MG) Função Quadrática

[Harison]

Sejam as funções reais [tex3]f[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f[/tex3]

e [tex3]g[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]g[/tex3]

dadas por [tex3]f(x)=x²-4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x)=x²-4[/tex3]

e [tex3]g(x)=4-x⁴[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]g(x)=4-x⁴[/tex3]

.Resolva as inequaçõe:

20210514_225100.jpg (8.78 KiB) Exibido 892 vezes

Resposta

---

attachment=0]20210514_225218.jpg[/attachment

[JBCosta]

Oi Harison!

Segue uma solução:

INEQ.png (121.72 KiB) Exibido 650 vezes

Valeu!

[rcompany]

De forma mais sucinta usando uma troca de variável (quebra o processo em duas etapas mais simples) e a fatoração que permite comparar as variáveis diretamente com o termo constante dentro de cada fator.

[tex3]
a)\\
\begin{array}{rl}f(x)\cdot g(x)\leqslant 0 &\iff(t-4)(4-t^2)\leqslant 0\quad\quad\text{com }t=x^2\\
&\iff -(t-4)(t-2)(t+2)\\
&\iff t\geq 4 \text{ ou } t \leqslant 2\\
&\iff |x|\geqslant 2 \text { ou }|x|\leqslant\sqrt{2}\\
&\iff x\in ]-\infty;-2]\cup[-\!\sqrt{2};\sqrt{2}]\cup[2;+\infty[\end{array}\\[36pt]
b)\\
\dfrac{f(x)}{g(x)}\geqslant 0\iff \dfrac{f(x)\cdot g(x)}{(g(x))^2}\geqslant 0\iff f(x)\cdot g(x)\geqslant 0 \iff x\in[-2;-\sqrt{2}]\cup[2;\sqrt{2}]\quad\quad\text{(ver pergunta a) )}

\\[24pt]
c)\\
f(x)-g(x)+8<0\iff t^2+t<0\quad\quad\text{com }t=x^2\text{, impossível já que }t,t^2>0\\
\text{Não tem solução em }\mathbb{R}
[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]
a)\\
\begin{array}{rl}f(x)\cdot g(x)\leqslant 0 &\iff(t-4)(4-t^2)\leqslant 0\quad\quad\text{com }t=x^2\\
&\iff -(t-4)(t-2)(t+2)\\
&\iff t\geq 4 \text{ ou } t \leqslant 2\\
&\iff |x|\geqslant 2 \text { ou }|x|\leqslant\sqrt{2}\\
&\iff x\in ]-\infty;-2]\cup[-\!\sqrt{2};\sqrt{2}]\cup[2;+\infty[\end{array}\\[36pt]
b)\\
\dfrac{f(x)}{g(x)}\geqslant 0\iff \dfrac{f(x)\cdot g(x)}{(g(x))^2}\geqslant 0\iff f(x)\cdot g(x)\geqslant 0 \iff x\in[-2;-\sqrt{2}]\cup[2;\sqrt{2}]\quad\quad\text{(ver pergunta a) )}

\\[24pt]
c)\\
f(x)-g(x)+8<0\iff t^2+t<0\quad\quad\text{com }t=x^2\text{, impossível já que }t,t^2>0\\
\text{Não tem solução em }\mathbb{R}
[/tex3]