Pré-Vestibular ⇒ (U.F. Triângulo Mineiro-MG - 2012) Progressão Aritmética

[Miquéias]

Seja a sequência de conjuntos de inteiros consecutivos dadas por {1}, {2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8, 9, 10}, ..., na qual cada conjunto, a partir do segundo, contém um elemento a mais do que o anterior.

a) O 21º conjunto dessa sequência tem como menor elemento o número 211. Calcule a soma de todos os elementos desse conjunto.

b) Calcule a soma de todos os elementos do 100º conjunto dessa sequência.

Minha dificuldade é na letra B. Não consigo enxergar como resolver já que ele não me da nenhuma informação sobre o 100º conjunto da sequência. A única coisa que sei é que ele possui 100 elementos.

Resposta

---

a) 4 641

Resposta

---

b) 500 050

[NathanMoreira]

Miquéias ,

a) Perceba que a quantidade de elementos dos conjuntos formam uma progressão aritmética de razão igual a 1. Portanto, se o 1º conjunto possui o total de 1 elemento, o 21º conjunto possuirá 21 elementos. Vamos descobrir a soma desses elementos:
[tex3]a_1=211[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a_1=211[/tex3]

[tex3]r=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]r=1[/tex3]

[tex3]a_{21}=211+20.1=231[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a_{21}=211+20.1=231[/tex3]

[tex3]\text{S}=\frac{(211+231).21}{2}={\color{red}\boxed{4.641}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\text{S}=\frac{(211+231).21}{2}={\color{red}\boxed{4.641}}[/tex3]

b) O 100º conjunto dessa sequência, pela mesma lógica do problema anterior, possuirá 100 elementos. Para definir seu primeiro termo, usaremos a seguinte regularidade entre os primeiros termos dos conjuntos:
Conjunto 1: [tex3]\boxed{1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\boxed{1}[/tex3]

Conjunto 2: [tex3]\boxed{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\boxed{2}[/tex3]

, 3
Conjunto 3: [tex3]\boxed{4}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\boxed{4}[/tex3]

, 5, 6
Conjunto 4: [tex3]\boxed{7}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\boxed{7}[/tex3]

, 8, 9, 10
Conjunto 5: [tex3]\boxed{11}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\boxed{11}[/tex3]

, 12, 13, 14, 15
Conjunto 6: [tex3]\boxed{16}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\boxed{16}[/tex3]

, 17, 18, 19, 20, 21

Perceba a seguinte sequência entre os primeiros termos dos conjuntos: [tex3](1,2,4,7,11,16,...,a_{100})[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](1,2,4,7,11,16,...,a_{100})[/tex3]

Note que se trata de uma P.A. de Segunda Ordem, visto que a razão entre os elementos forma uma P.A., perceba:
[tex3]2-1=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2-1=1[/tex3]

[tex3]4-2=2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]4-2=2[/tex3]

[tex3]7-4=3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]7-4=3[/tex3]

[tex3]11-7=4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]11-7=4[/tex3]

[tex3]\rightarrow [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\rightarrow [/tex3]

[tex3](b_1,b_2,b_3,...,b_{99})=(1,2,3,4,...,99)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](b_1,b_2,b_3,...,b_{99})=(1,2,3,4,...,99)[/tex3]

, cuja razão é 1.

O centésimo termo da P.A. de Segunda Ordem será dado por:
[tex3]a_{100}=a_1+(b_1+b_2+b_3+...+b_{99})[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a_{100}=a_1+(b_1+b_2+b_3+...+b_{99})[/tex3]

[tex3]a_{100}=1+(1+2+3+...+99)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a_{100}=1+(1+2+3+...+99)[/tex3]

[tex3]a_{100}=1+\frac{(1+99).99}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a_{100}=1+\frac{(1+99).99}{2}[/tex3]

[tex3]a_{100}=1+4950[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a_{100}=1+4950[/tex3]

[tex3]a_{100}=4951[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a_{100}=4951[/tex3]

Portanto, esse será o primeiro termo do 100º conjunto. Como ele terá 100 termos os quais estão em P.A. de razão 1:
[tex3](4951+4952+4953+...+[4951+99])=(4951+4952+4953+...+5050)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](4951+4952+4953+...+[4951+99])=(4951+4952+4953+...+5050)[/tex3]

A soma dessa P.A. será:
[tex3]\text{S}=\frac{(4951+5050).100}{2}={\color{red}\boxed{500.050}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\text{S}=\frac{(4951+5050).100}{2}={\color{red}\boxed{500.050}}[/tex3]

[Miquéias]

Obrigado pela ajuda mestre. Não conhecia esse assunto de P.A. de segunda ordem. Tive um pouco de dificuldade de entender esse exercício, mas no fim consegui. Obrigado!!!