Pré-VestibularFunção quadrática/UFT-TO Tópico resolvido

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Harison
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Função quadrática/UFT-TO

Mensagem não lida por Harison »

Seja f:][tex3]-\infty,2[/tex3] ][tex3]\rightarrow [/tex3] [[tex3]-1,\infty [/tex3] [ definida por [tex3]f(x)=x²-4x+3[/tex3] ,então a função inversa [tex3]f^{-1}[/tex3] é:
20210501_154130.jpg
20210501_154130.jpg (25 KiB) Exibido 840 vezes
Resposta

A




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NathanMoreira
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Re: Função quadrática/UFT-TO

Mensagem não lida por NathanMoreira »

Harison ,

[tex3]y=x^2-4x+3[/tex3]

Adicionando 1 de ambos lados da igualdade:
[tex3]y+1=x^2-4x+3+1[/tex3]
[tex3]y+1=x^2-4x+4[/tex3]

Perceba que [tex3]x^2-4x+4[/tex3] é o mesmo que [tex3](x-2)^2[/tex3] , portanto, vamos substituir:
[tex3]y+1=(x-2)^2[/tex3]

Agora, para encontrar a inversa, trocamos x por y e vice versa:
[tex3]x+1=(y-2)^2[/tex3]

Extraímos a raiz quadrada de ambos os lados:
[tex3]\sqrt{x+1}=\sqrt{(y-2)^2}[/tex3]
[tex3]\sqrt{x+1}=y-2[/tex3]
[tex3]{\color{red}\boxed{y=2+\sqrt{x+1}}}[/tex3]



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Para mais informações, entre em contato comigo:

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Harison
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Re: Função quadrática/UFT-TO

Mensagem não lida por Harison »

O seu resultado não bateu com o gabarito



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NathanMoreira
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Re: Função quadrática/UFT-TO

Mensagem não lida por NathanMoreira »

Você tem razão, cometi um equívoco.

Quando eu extraio a raiz quadrada dos dois lados, ficando com:

[tex3]y=2\pm \sqrt{x+1}[/tex3]

Só que perceba que o enunciado diz que o domínio de [tex3]f[/tex3] , ou seja, os valores que x pode assumir vão até o 2. Mas, sabemos que:
[tex3]\text{Dm(f)=C.D.(f}^{-1})[/tex3]

Ou seja, os valores que o y da função inversa de [tex3]f[/tex3] pode assumir vai até, no máximo, 2 também.

Então, o valor [tex3]y=2+ \sqrt{x+1}[/tex3] não respeita o contradomínio da função, portanto:
[tex3]{\color{red}\boxed{ y=2- \sqrt{x+1}}}[/tex3]

Obs:
[tex3]\text{Dm(f)=C.D.}\text{(f}^{-1})[/tex3]
[tex3]\text{C.D.}\text{(f})=\text{Dm(f}^{-1})[/tex3]



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