Pré-Vestibular ⇒ Logaritmo e Exponencial Tópico resolvido

[Fibonacci13]

(UF-BA) Considerando-se as funções f(x) = x-2 e g(x) = 2^x, definidas para todo o x real, e a função h(x) = [tex3]\log_{3}(x)[/tex3]

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[tex3]\log_{3}(x)[/tex3]

, definida para todo x real positivo, é correto afirmar:

(01) O domínio da função [tex3]\frac{g}{h}[/tex3]

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[tex3]\frac{g}{h}[/tex3]

é o conjunto dos números reais positivos.

(02) A função [tex3]\frac{f.h}{f.g}[/tex3]

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[tex3]\frac{f.h}{f.g}[/tex3]

se anula em dois pontos.

(04) A função composta h.g é uma função linear.

(08) O gráfico da função h.f intercepta o eixo Ox em um único ponto.

(16) O gráfico da função f.g intercepta o gráfico de h(x) no ponto de abcissa igual a 1.

(32) Se g(h(a)) = 8 e h(g(2b)) = [tex3]\log_{3}(8)[/tex3]

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[tex3]\log_{3}(8)[/tex3]

, então [tex3]\frac{a}{b}=18.[/tex3]

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[tex3]\frac{a}{b}=18.[/tex3]

Resposta

---

60

[csmarcelo]

As expressões estão corretas? Porque algumas afirmações não batem.

[Fibonacci13]

Sim csmarcelo, estão corretas. Quais expressões você está se referindo.

OBS: Estão corretas segundo o meu livro.

[NathanMoreira]

Fibonacci13 ,

01) Falso.
[tex3]\frac{g}{h}=\frac{2^x}{\log_3x}[/tex3]

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[tex3]\frac{g}{h}=\frac{2^x}{\log_3x}[/tex3]

[tex3]\log_3x\neq 0[/tex3]

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[tex3]\log_3x\neq 0[/tex3]

[tex3]\rightarrow [/tex3]

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[tex3]\rightarrow [/tex3]

[tex3]x\neq 1[/tex3]

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[tex3]x\neq 1[/tex3]

[tex3]\text{Dm}=\mathbb{R}-\{1\}[/tex3]

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[tex3]\text{Dm}=\mathbb{R}-\{1\}[/tex3]

02) Falso.
[tex3]\frac{f(h)}{f(g)}=\frac{h(x)-2}{g(x)-2}=\frac{\log_3x-2}{2^x-2}[/tex3]

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[tex3]\frac{f(h)}{f(g)}=\frac{h(x)-2}{g(x)-2}=\frac{\log_3x-2}{2^x-2}[/tex3]

[tex3]\frac{\log_3x-2}{2^x-2}=0[/tex3]

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[tex3]\frac{\log_3x-2}{2^x-2}=0[/tex3]

[tex3]\log_3x-2=0[/tex3]

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[tex3]\log_3x-2=0[/tex3]

[tex3]\log_3x=2[/tex3]

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[tex3]\log_3x=2[/tex3]

[tex3]x=9[/tex3]

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[tex3]x=9[/tex3]

04) Verdadeiro.
[tex3]h(g)=\log_32^x[/tex3]

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[tex3]h(g)=\log_32^x[/tex3]

[tex3]h(g)=x.\log_32[/tex3]

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[tex3]h(g)=x.\log_32[/tex3]

08) Verdadeiro.
[tex3]h(f)=\log_3(x-2)[/tex3]

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[tex3]h(f)=\log_3(x-2)[/tex3]

[tex3]\log_3(x-2)=0[/tex3]

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[tex3]\log_3(x-2)=0[/tex3]

[tex3]x-2=1[/tex3]

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[tex3]x-2=1[/tex3]

[tex3]x=3[/tex3]

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[tex3]x=3[/tex3]

16) Verdadeiro.
[tex3]f(g)=h[/tex3]

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[tex3]f(g)=h[/tex3]

[tex3]2^x-2=\log_3x[/tex3]

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[tex3]2^x-2=\log_3x[/tex3]

Para [tex3]x=1[/tex3]

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[tex3]x=1[/tex3]

[tex3]2^1-2=\log_31[/tex3]

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[tex3]2^1-2=\log_31[/tex3]

[tex3]0=0[/tex3]

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[tex3]0=0[/tex3]

32) Verdadeiro.
[tex3]g(h(a)) = 8[/tex3]

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[tex3]g(h(a)) = 8[/tex3]

[tex3]2^{\log_3a}=8[/tex3]

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[tex3]2^{\log_3a}=8[/tex3]

[tex3]2^{\log_3a}=2^3[/tex3]

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[tex3]2^{\log_3a}=2^3[/tex3]

[tex3]\log_3a=3[/tex3]

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[tex3]\log_3a=3[/tex3]

[tex3]a=27[/tex3]

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[tex3]a=27[/tex3]

[tex3]h(g(2b)) =\log_38[/tex3]

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[tex3]h(g(2b)) =\log_38[/tex3]

[tex3]\log_32^{2b}=\log_38[/tex3]

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[tex3]\log_32^{2b}=\log_38[/tex3]

[tex3]2^{2b}=2^3[/tex3]

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[tex3]2^{2b}=2^3[/tex3]

[tex3]2b=3[/tex3]

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[tex3]2b=3[/tex3]

[tex3]b=\frac{3}{2}[/tex3]

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[tex3]b=\frac{3}{2}[/tex3]

[tex3]\frac{a}{b}=18[/tex3]

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[tex3]\frac{a}{b}=18[/tex3]

[tex3]\frac{27}{\frac{3}{2}}=18[/tex3]

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[tex3]\frac{27}{\frac{3}{2}}=18[/tex3]

[tex3]18=18[/tex3]

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[tex3]18=18[/tex3]

Somatório: [tex3]4+8+16+32={\color{red}\boxed{60}}[/tex3]

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[tex3]4+8+16+32={\color{red}\boxed{60}}[/tex3]

[NathanMoreira]

Só um adendo, creio que f.h seja alguma notação de f(h), como ocorre em f.g como f(g) e assim por diante. Seguindo essa lógica, chegamos ao gabarito.

[Fibonacci13]

Opa NathanMoreira, muito obrigado.

[Fibonacci13]

ah, não conhecia essa notação.