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Resposta
S={x [tex3]\in [/tex3] [tex3]\mathbb{R}[/tex3] /0<x [tex3]\leq [/tex3] 3 ou x [tex3]\geq [/tex3] 12}
Pré-Vestibular ⇒ Função logarítmica/Questão desconhecida Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Abr 2021
29
00:16
Função logarítmica/Questão desconhecida
Determine no universo [tex3]\mathbb{R}[/tex3]
o conjunto solução da inequação:
S={x [tex3]\in [/tex3] [tex3]\mathbb{R}[/tex3] /0<x [tex3]\leq [/tex3] 3 ou x [tex3]\geq [/tex3] 12}
S={x [tex3]\in [/tex3] [tex3]\mathbb{R}[/tex3] /0<x [tex3]\leq [/tex3] 3 ou x [tex3]\geq [/tex3] 12}
-
NathanMoreira 
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Abr 2021
29
13:58
Re: Função logarítmica/Questão desconhecida
Harison ,
[tex3]\log_9(3x)\leq \log_3(x+6)-1[/tex3]
[tex3]\log_{3^2}(3x)\leq \log_3(x+6)-1[/tex3]
[tex3]\frac{1}{2}.\log_{3}(3x)\leq \log_3(x+6)-1[/tex3]
Perceba que [tex3]1[/tex3] é o mesmo que [tex3]\log_33[/tex3]
[tex3]\log_{3}(3x)^{\frac{1}{2}}\leq \log_3(x+6)-\log_33[/tex3]
[tex3]\log_{3}(3x)^{\frac{1}{2}}\leq \log_3\left(\frac{x+6}{3}\right)[/tex3]
[tex3](3x)^{\frac{1}{2}}\leq\frac{x+6}{3} [/tex3]
[tex3]\sqrt{3x}\leq\frac{x+6}{3} [/tex3]
Elevando ambos lados ao quadrado:
[tex3](\sqrt{3x})^2\leq\left(\frac{x+6}{3}\right)^2 [/tex3]
[tex3]3x\leq\frac{x^2+12x+36}{9} [/tex3]
Subtraindo [tex3]3x[/tex3] de ambos os lados:
[tex3]0\leq\frac{x^2+12x+36-27x}{9} [/tex3]
[tex3]\frac{x^2-15x+36}{9}\geq 0 [/tex3]
Como o denominador já é positivo e queremos que a fração seja positiva ou igual a zero, temos que, para isso, o denominador também deve ser maior ou igual a zero.
[tex3]x^2-15x+36\geq 0[/tex3]
[tex3]x^2-15x+36=0[/tex3]
[tex3]x=\frac{15\pm \sqrt{225-144}}{2}[/tex3]
[tex3]x=\frac{15\pm \sqrt{81}}{2}[/tex3]
[tex3]x=\frac{15\pm 9}{2}[/tex3]
[tex3]x_1=12[/tex3]
[tex3]x_2=3[/tex3]
Além disso, como o coeficiente angular da função é positivo, temos que a função será positiva antes e depois das raízes e negativa apenas entre elas. Portanto:
[tex3]\text{S}=\text{ }\{\text{ }x\in \text{ }\mathbb{R}\text{ }|\text{ }x\leq 3 \text{ ou }x\geq 12 \text{ }\}[/tex3]
[tex3]\log_9(3x)\leq \log_3(x+6)-1[/tex3]
[tex3]\log_{3^2}(3x)\leq \log_3(x+6)-1[/tex3]
[tex3]\frac{1}{2}.\log_{3}(3x)\leq \log_3(x+6)-1[/tex3]
Perceba que [tex3]1[/tex3] é o mesmo que [tex3]\log_33[/tex3]
[tex3]\log_{3}(3x)^{\frac{1}{2}}\leq \log_3(x+6)-\log_33[/tex3]
[tex3]\log_{3}(3x)^{\frac{1}{2}}\leq \log_3\left(\frac{x+6}{3}\right)[/tex3]
[tex3](3x)^{\frac{1}{2}}\leq\frac{x+6}{3} [/tex3]
[tex3]\sqrt{3x}\leq\frac{x+6}{3} [/tex3]
Elevando ambos lados ao quadrado:
[tex3](\sqrt{3x})^2\leq\left(\frac{x+6}{3}\right)^2 [/tex3]
[tex3]3x\leq\frac{x^2+12x+36}{9} [/tex3]
Subtraindo [tex3]3x[/tex3] de ambos os lados:
[tex3]0\leq\frac{x^2+12x+36-27x}{9} [/tex3]
[tex3]\frac{x^2-15x+36}{9}\geq 0 [/tex3]
Como o denominador já é positivo e queremos que a fração seja positiva ou igual a zero, temos que, para isso, o denominador também deve ser maior ou igual a zero.
[tex3]x^2-15x+36\geq 0[/tex3]
[tex3]x^2-15x+36=0[/tex3]
[tex3]x=\frac{15\pm \sqrt{225-144}}{2}[/tex3]
[tex3]x=\frac{15\pm \sqrt{81}}{2}[/tex3]
[tex3]x=\frac{15\pm 9}{2}[/tex3]
[tex3]x_1=12[/tex3]
[tex3]x_2=3[/tex3]
Além disso, como o coeficiente angular da função é positivo, temos que a função será positiva antes e depois das raízes e negativa apenas entre elas. Portanto:
[tex3]\text{S}=\text{ }\{\text{ }x\in \text{ }\mathbb{R}\text{ }|\text{ }x\leq 3 \text{ ou }x\geq 12 \text{ }\}[/tex3]
Dou aulas particulares de matemática.
Para mais informações, entre em contato comigo:
Whatsapp: (18) 99164-4128
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Mai 2021
01
12:43
Re: Função logarítmica/Questão desconhecida
Nathan,só não entendi a parte que vc subtraiu o 3x
-
NathanMoreira
- Mensagens: 439
- Registrado em: Dom 11 Out, 2020 19:21
- Última visita: 10-11-22
Mai 2021
01
15:05
Re: Função logarítmica/Questão desconhecida
Eu subtrai o 3x para ficar apenas o zero do outro lado da desigualdade, para que a gente possa resolver. Agora como fiz foi o seguinte:
[tex3]3x\leq\frac{x^2+12x+36}{9} [/tex3]
[tex3]3x-3x\leq\frac{x^2+12x+36}{9} -3x[/tex3]
[tex3]0\leq\frac{x^2+12x+36}{9} -3x[/tex3]
[tex3]3x[/tex3] é o mesmo que [tex3]\frac{27x}{9}[/tex3] , então podemos trocar:
[tex3]0\leq\frac{x^2+12x+36}{9} -\frac{27x}{9}[/tex3]
Como os denominadores são iguais, podemos juntar numa mesma fração:
[tex3]0\leq\frac{x^2+12x+36-27x}{9} [/tex3]
[tex3]3x\leq\frac{x^2+12x+36}{9} [/tex3]
[tex3]3x-3x\leq\frac{x^2+12x+36}{9} -3x[/tex3]
[tex3]0\leq\frac{x^2+12x+36}{9} -3x[/tex3]
[tex3]3x[/tex3] é o mesmo que [tex3]\frac{27x}{9}[/tex3] , então podemos trocar:
[tex3]0\leq\frac{x^2+12x+36}{9} -\frac{27x}{9}[/tex3]
Como os denominadores são iguais, podemos juntar numa mesma fração:
[tex3]0\leq\frac{x^2+12x+36-27x}{9} [/tex3]
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