Pré-Vestibular

Mensagem não lida por **Gabi123** » 06 Abr 2021, 22:01

Na figura a seguir, temos BC = 4 cm, AC = 2 cm, AC perpendicular à CB, e AD perpendicular à DB.

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Sabendo que o ângulo CAD é 30°, então a medida de BD, em cm, é igual a:

a) (6 - √3) / 3

b) 6√3 - 3

c) 2√3 - 1

d) (4 - √3) / 2

e) (5√3) / 2

Gabi123 ,

Vamos nomear o ponto de intersecção entre [tex3]\overline{\text{BC}}[/tex3] e [tex3]\overline{\text{AD}}[/tex3] de [tex3]\text{E}[/tex3] .

Aplicando tangente no ângulo de [tex3]30^{\circ}[/tex3] do [tex3]\Delta \text{ACE}[/tex3] :
[tex3]\tg(30^{\circ})=\frac{\overline{\text{CE}}}{2}[/tex3]
[tex3]\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\overline{\text{CE}}}{2}[/tex3]
[tex3]\overline{\text{CE}}=\frac{2.\sqrt{3}}{3}[/tex3]

O ângulo [tex3]\text{C}\hat{\text{E}}\text{A}[/tex3] é complementar com o ângulo [tex3]\text{C}\hat{\text{A}}\text{E}[/tex3] . Portanto, o ângulo [tex3]\text{C}\hat{\text{E}}\text{A}[/tex3] é de [tex3]60^{\circ}[/tex3] .

Já o ângulo [tex3]\text{B}\hat{\text{E}}\text{D}[/tex3] é oposto pelo vértice do ângulo [tex3]\text{C}\hat{\text{E}}\text{A}[/tex3] . Portanto, o ângulo [tex3]\text{B}\hat{\text{E}}\text{D}[/tex3] é de [tex3]60^{\circ}[/tex3] .

Foi dado pela questão que [tex3]\overline{\text{BC}}[/tex3] mede [tex3]4[/tex3] , porém, como achamos o valor de [tex3]\overline{\text{CE}}[/tex3] , temos que:
[tex3]\overline{\text{BE}}=\overline{\text{BC}}-\overline{\text{CE}}[/tex3]
[tex3]\overline{\text{BE}}=4-\frac{2.\sqrt{3}}{3}[/tex3]

Aplicando seno no ângulo de [tex3]60^{\circ}[/tex3] do [tex3]\Delta \text{DBE}[/tex3] :
[tex3]\sen(60^{\circ})=\frac{\overline{\text{BD}}}{4-\frac{2.\sqrt{3}}{3}}[/tex3]
[tex3]\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\overline{\text{BD}}}{4-\frac{2.\sqrt{3}}{3}}[/tex3]

[tex3]{\color{red}\boxed{\overline{\text{BD}}=2.\sqrt{3}-1}}[/tex3]

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