Harison ,
a)
[tex3]\log_{2}(x-2)=\log_{4}(2x+4)[/tex3]
Condição de Existência:
[tex3]x-2>0[/tex3]
[tex3]x>2[/tex3]
[tex3]2x+4>0[/tex3]
[tex3]2x>-4[/tex3]
[tex3]x>-2[/tex3]
[tex3]\therefore [/tex3]
[tex3]\text{C.E.}:x>2[/tex3]
Agora, vamos resolver o exercício utilizando as propriedades:
[tex3]\log_{2}(x-2)=\log_{2^2}(2x+4)[/tex3]
[tex3]\log_{2}(x-2)=\frac{1}{2}.\log_{2}(2x+4)[/tex3]
[tex3]\log_{2}(x-2)=\log_{2}(2x+4)^{\frac{1}{2}}[/tex3]
[tex3]x-2=(2x+4)^{\frac{1}{2}}[/tex3]
[tex3]x-2=\sqrt{2x+4}[/tex3]
[tex3](x-2)^2=(\sqrt{2x+4})^2[/tex3]
[tex3]x^2-4x+4=2x+4[/tex3]
[tex3]x^2-6x=0[/tex3]
[tex3]x.(x-6)=0[/tex3]
[tex3]x=0[/tex3]
[tex3]\rightarrow [/tex3]
Não atende à condição de existência.
[tex3]\boxed{x=6}[/tex3]
[tex3]{\color{red}\boxed{S=\{6\}}}[/tex3]
b)
[tex3]\log_{2}(x-2)+2.\log_{4}x=3.\log_{8}(2x)[/tex3]
Condição de Existência:
[tex3]x-2>0[/tex3]
[tex3]x>2[/tex3]
[tex3]x>0[/tex3]
[tex3]2x>0[/tex3]
[tex3]x>0[/tex3]
[tex3]\therefore [/tex3]
[tex3]\text{C.E.}:[/tex3]
[tex3]x>2[/tex3]
Resolvendo o exercício:
[tex3]\log_{2}(x-2)+2.\log_{2^2}x=3.\log_{2^3}(2x)[/tex3]
[tex3]\log_{2}(x-2)+\frac{2}{2}.\log_{2}x=\frac{3}{3}.\log_{2}(2x)[/tex3]
[tex3]\log_{2}(x-2)+\log_{2}x=\log_{2}(2x)[/tex3]
[tex3]\log_{2}[(x-2).x]=\log_{2}(2x)[/tex3]
[tex3](x-2).x=2x[/tex3]
[tex3]x^2-2x=2x[/tex3]
[tex3]x^2-4x=0[/tex3]
[tex3]x.(x-4)=0[/tex3]
[tex3]x=0[/tex3]
[tex3]\rightarrow [/tex3]
Não atende à condição de existência.
[tex3]\boxed{x=4}[/tex3]
[tex3]{\color{red}\boxed{S=\{4\}}}[/tex3]