Harison , para resolvermos esse problema, usaremos a seguinte ideia:
[tex3]\text{Im}(f^{-1})=\text{Dm}(f)[/tex3]
, ou seja, a imagem da função inversa é igual ao domínio da função.
O domínio são os valores pelos quais a função está definida. Nesse caso, basta aplicar a condição de existência em ambos logaritmos:
[tex3]3x-9 >0[/tex3]
[tex3]3x >9[/tex3]
[tex3]x >3[/tex3]
[tex3]18-2x >0[/tex3]
[tex3]-2x > -18[/tex3]
[tex3]2x < 18[/tex3]
[tex3]x <9[/tex3]
O domínio será a intersecção entre ambas condições, ou seja:
[tex3]\text{Dm}(f)= 3< x<9[/tex3]
, ou, em outra notação, [tex3]\text{Dm}(f)=]3,9[[/tex3]
[tex3]{\color{red}\boxed{\text{Im}(f^{-1})=]3,9[}}[/tex3]