Pré-Vestibular(Poliedro) Tamanho de bissetriz Tópico resolvido

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anastacialina
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(Poliedro) Tamanho de bissetriz

Mensagem não lida por anastacialina »

Oi, gente? Sup? :D Alguém vê uma solução mais rápida que a minha? Usei a fórmula do tamanho de bissetriz.

Poliedro — Os vértices de um triângulo são A(3; -5), B(-3; 3) e C(-1; -2). Determine o comprimento da bissetriz do ângulo interno do vértice A.
Resposta

[tex3]\frac{14}{3} \cdot \sqrt2[/tex3]

Última edição: anastacialina (Qui 01 Abr, 2021 13:53). Total de 2 vezes.


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FelipeMartin
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Re: (Poliedro) Tamanho de bissetriz

Mensagem não lida por FelipeMartin »

acho que dá muita conta de qualquer jeito.

Se você quiser decorar fórmulas práticas que você só vai usar uma vez na vida, tem a do incentro do triângulo [tex3]ABC[/tex3] :

[tex3]I = \frac{aA+bB+cC}{a+b+c}[/tex3]

onde [tex3]a,b,c[/tex3] são os lados e [tex3]A,B,C[/tex3] são os vértices. Repare que ainda assim dá muita conta calcular o incentro deste jeito (e ainda teria que calcular a distância de [tex3]A[/tex3] até o incentro e usar o teorema da bissetriz interna duas vezes).

Essa pergunta é daquelas pra treinar a resistência às contas mesmo.

Última edição: FelipeMartin (Qui 01 Abr, 2021 14:31). Total de 2 vezes.


φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.

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anastacialina
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Re: (Poliedro) Tamanho de bissetriz

Mensagem não lida por anastacialina »

Aí, como eu aaaamo questão que tem esses conte de número... aí como eu amo.. LOL

Obrigado pela intenção, mas mais fórmulas só me farão ficar bitolada em coisas que, como você mesmo disse, usarei uma vez na vida. É mexer com números mesmo.

FelipeMartin ♥♥♥


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NigrumCibum
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Re: (Poliedro) Tamanho de bissetriz

Mensagem não lida por NigrumCibum »

1. Primeiramente, calculemos os lados AB e AC [tex3]AB=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}=\sqrt{6^2+(-8)^2}=10[/tex3]
[tex3]AC=\sqrt{4^2+3^2}=5.[/tex3]
Suponha que P seja o ponto de encontro da bissetriz interna de A com o lado BC. Pelo teorema da bissetriz interna [tex3]\frac{PB}{PC}=2.[/tex3]
2. Teorema: um ponto P divide um segmento AB na razão a:b se [tex3]\frac{a}{b}=\frac{x_P-x_A}{x_B-x_P}[/tex3] e [tex3]\frac{a}{b}=\frac{y_P-y_A}{y_B-y_P}.[/tex3]
Pelo teorema acima, temos: [tex3]2=\frac{x_P-x_B}{x_C-x_P}\implies x_P=-\frac{5}{3}[/tex3] e [tex3]2=\frac{y_P-y_B}{y_C-y_P}\implies y_P=-\frac{1}{3}[/tex3] , portanto [tex3]AP=\sqrt{(\frac{14}{3})^2+(-\frac{14}{3})^2}=\frac{14}{3}\sqrt2 [/tex3]
Última edição: NigrumCibum (Qui 01 Abr, 2021 14:51). Total de 1 vez.


Arrêter le temps!

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anastacialina
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Re: (Poliedro) Tamanho de bissetriz

Mensagem não lida por anastacialina »

Muito bam! Nem pensei nisso :D. Mas praticamente tão trabalhoso quanto a a minha, mas aí já é da questão. Muito obrigada! ♥♥♥ NigrumCibum.


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NathanMoreira
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Re: (Poliedro) Tamanho de bissetriz

Mensagem não lida por NathanMoreira »

anastacialina , vamos pra contaiada:

Vamos primeiro encontrar o comprimento dos lados desse triângulo:

[tex3]d_{A,C}=\sqrt{(-1-3)^2+(-2+5)^2}[/tex3]
[tex3]d_{A,C}=5[/tex3]

[tex3]d_{B,C}=\sqrt{(-1+3)^2+(-2-3)^2}[/tex3]
[tex3]d_{B,C}=\sqrt{29}[/tex3]

[tex3]d_{A,B}=\sqrt{(-3-3)^2+(3+5)^2}[/tex3]
[tex3]d_{A,B}=10[/tex3]

Portanto, temos o seguinte triângulo:
Screenshot_18.png
Screenshot_18.png (17.21 KiB) Exibido 3974 vezes
Aplicando o Teorema da Bissetriz Interna:
[tex3]\frac{5}{x}=\frac{10}{\sqrt{29}-x}[/tex3]
[tex3]5.(\sqrt{29}-x)=10x[/tex3]
[tex3]5\sqrt{29}-5x=10x[/tex3]
[tex3]15x=5\sqrt{29}[/tex3]
[tex3]x=\frac{\sqrt{29}}{3}[/tex3]

Portanto, temos:
[tex3]d_{C,D}=\frac{\sqrt{29}}{3}[/tex3]

[tex3]d_{D,B}=\frac{2\sqrt{29}}{3}[/tex3]

Aplicando a fórmula do comprimento da bissetriz interna (perceba que ela é bem simples):
[tex3](AD)=\sqrt{(AC).(AB)-(CD).(DB)}[/tex3]
[tex3](AD)=\sqrt{5.10-\frac{\sqrt{29}}{3}.\frac{2\sqrt{29}}{3}}[/tex3]
[tex3](AD)=\sqrt{\frac{392}{9}}[/tex3]
[tex3]{\color{red}\boxed{(AD)=\frac{14\sqrt{2}}{3}}}[/tex3]


Dou aulas particulares de matemática.
Para mais informações, entre em contato comigo:

Whatsapp: (18) 99164-4128

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Re: (Poliedro) Tamanho de bissetriz

Mensagem não lida por anastacialina »

De onde vem isso? ♥
[tex3](AD)=\sqrt{(AC).(AB)-(CD).(DB)}[/tex3]



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NathanMoreira
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Re: (Poliedro) Tamanho de bissetriz

Mensagem não lida por NathanMoreira »

O professor Iury demonstra isso nesse vídeo:
https://youtu.be/2IJYMULb5fI


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anastacialina
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Re: (Poliedro) Tamanho de bissetriz

Mensagem não lida por anastacialina »

NathanMoreira, nossa muito obrigada. Foi mal por não ter respondido antes, eu salvei pro dia de eu estudar matemática. ♥♥♥




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