Pré-Vestibular

A figura abaixo representa um tetraedro regular T₁ com vértice V e base ABC, e um tetraedro T₂ de vértice B e base NMP

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Os pontos M, N e P são médios de três arestas do tetraedro T₁ e o volume do tetraedro T1 é 64 m³.
A medida do volume do tetraedro T₂, em metros cúbicos, é igual a:
(A) 32
(B) 16
(C) 8
(D) 4

Resposta

C

nickolasm ,

O volume de um tetraedro regular é dado por:
[tex3]V=\frac{a^{3}\sqrt{2}}{12}[/tex3] , sendo [tex3]''a ''[/tex3] a medida de sua aresta.

Colocando o volume do tetraedro regular [tex3]T_1[/tex3] na fórmula:
[tex3]64=\frac{a^{3}\sqrt{2}}{12}[/tex3]
[tex3]a^{3}=\frac{64.12}{\sqrt{2}}[/tex3]
[tex3]a=\frac{\sqrt[3]{64}.\sqrt[3]{12}}{\sqrt[6]{2}}[/tex3]
[tex3]a=\frac{4.\sqrt[3]{12}}{\sqrt[6]{2}}[/tex3]

Como as medidas das arestas do tetraedro [tex3]T_2[/tex3] interceptam o tetraedro [tex3]T_1[/tex3] em seus pontos médios, podemos concluir que as arestas do tetraedro [tex3]T_2[/tex3] são metade das arestas de [tex3]T_2[/tex3]

[tex3]a_{T_{2}}=\frac{2.\sqrt[3]{12}}{\sqrt[6]{2}}[/tex3]

[tex3]V_{T_{2}}=\frac{\left(\frac{2.\sqrt[3]{12}}{\sqrt[6]{2}}\right)^{3}.\sqrt{2}}{12}[/tex3]
[tex3]V_{T_{2}}=\frac{\frac{96}{\sqrt{2}}.\sqrt{2}}{12}[/tex3]
[tex3]V_{T_{2}}=\frac{96}{12}[/tex3]

[tex3]{\color{red}\boxed{V_{T_{2}}=8 m^3}}[/tex3]

Alternativa C.

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