Pré-Vestibular ⇒ (UECE-2019) P.A ( Progressão Aritmética) Tópico resolvido

[Agenteman]

(UECE/2019)

Se as raízes do polinômio P(x) = x³ – 12x² + 47x – 60 são reais, distintas e formam uma progressão aritmética, então, a soma dos cubos dessas raízes é igual a

216.
226.
236.
206

Resposta

---

216

[csmarcelo]

Das relações de Girard:

[tex3]r_1+r_2+r3=-\frac{b}{a}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]r_1+r_2+r3=-\frac{b}{a}[/tex3]

Logo

[tex3]r_1+r_2+r3=12[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]r_1+r_2+r3=12[/tex3]

Mas, se as raízes estão em PA

[tex3]r_1=a1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]r_1=a1[/tex3]

[tex3]r_2=a1+q[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]r_2=a1+q[/tex3]

[tex3]r_3=a1+2q[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]r_3=a1+2q[/tex3]

Assim

[tex3]3a_1+3q=12[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]3a_1+3q=12[/tex3]

Portanto

[tex3]a_1+q=r_2=4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a_1+q=r_2=4[/tex3]

Novamente, das relações de Girard:

[tex3]r_1\cdot r_2\cdot r_3=-\frac{d}{a}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]r_1\cdot r_2\cdot r_3=-\frac{d}{a}[/tex3]

Logo

[tex3]r_1\cdot r_3=15[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]r_1\cdot r_3=15[/tex3]

Daí já fica evidente que [tex3]r_1=3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]r_1=3[/tex3]

e [tex3]r_3=5[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]r_3=5[/tex3]

.