Pré-Vestibular ⇒ Produto dos n primeiros termos de uma progressão geométrica (PG) Tópico resolvido

[anastacialina]

Oi, gente? Sup? Poderiam me ajudar a entender o que foi feito nessa passagem aqui? Por favor?

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Produto dos n primeiros termos de uma PG

Sabemos que em uma PG o produto dos termos equidistantes é constante, então:

[tex3]\mathrm{P_n = a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \, ... \, a_{n - 2} \cdot a_{n - 1} \cdot a_n \, (I) \\
P_n = a_n \cdot a_{n - 1} \cdot a_{n - 2} \, ... \, a_3 \cdot a_2 \cdot a_1 (II)}[/tex3]

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[tex3]\mathrm{P_n = a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \, ... \, a_{n - 2} \cdot a_{n - 1} \cdot a_n \, (I) \\
P_n = a_n \cdot a_{n - 1} \cdot a_{n - 2} \, ... \, a_3 \cdot a_2 \cdot a_1 (II)}[/tex3]

Na equação II, invertemos a ordem dos termos, e os correspondentes estão na equação I. Fazendo [tex3]\mathrm{(I) \cdot (II)}[/tex3]

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[tex3]\mathrm{(I) \cdot (II)}[/tex3]

, temos:

[tex3]\mathrm{(P_n)^2 = \underbrace{(a_1 \cdot a_n)(a_2 \cdot a_{n - 1}) \, ... \, (a_{n - 1} \cdot a_2)(a_n \cdot a_1)}_{\text{n grupos}} \\
(P_n)^2 = (a_1 \cdot a_n)^n \, \text{ou} \, \vert P_n \vert = \sqrt{(a_1 \cdot a_n)^n}}[/tex3]

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[tex3]\mathrm{(P_n)^2 = \underbrace{(a_1 \cdot a_n)(a_2 \cdot a_{n - 1}) \, ... \, (a_{n - 1} \cdot a_2)(a_n \cdot a_1)}_{\text{n grupos}} \\
(P_n)^2 = (a_1 \cdot a_n)^n \, \text{ou} \, \vert P_n \vert = \sqrt{(a_1 \cdot a_n)^n}}[/tex3]

Podemos continuar os cálculos:
[tex3]\mathrm{(P_n)^2 = {a_1}^n \cdot {a_n}^n \therefore (P_n)^2 = {a_1}^n (a_1 \cdot q^{n - 1})^{n} \\
\therefore \color{red}{(P_n)^2 = {a_1}^{2n} \cdot q^{n(n - 1)} \implies P_n = {a_1}^n \cdot q^{\frac{n(n - 1)}{2}}}}[/tex3]

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[tex3]\mathrm{(P_n)^2 = {a_1}^n \cdot {a_n}^n \therefore (P_n)^2 = {a_1}^n (a_1 \cdot q^{n - 1})^{n} \\
\therefore \color{red}{(P_n)^2 = {a_1}^{2n} \cdot q^{n(n - 1)} \implies P_n = {a_1}^n \cdot q^{\frac{n(n - 1)}{2}}}}[/tex3]

Não deveria ser isso? [tex3]\mathrm{(P_n)^2 = {a_1}^{2n} \cdot q^{n(n - 1)} \implies \vert P_n \vert = \vert {a_1} \vert^n \cdot q^{\frac{n(n - 1)}{2}}}[/tex3]

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[tex3]\mathrm{(P_n)^2 = {a_1}^{2n} \cdot q^{n(n - 1)} \implies \vert P_n \vert = \vert {a_1} \vert^n \cdot q^{\frac{n(n - 1)}{2}}}[/tex3]

Como ele (livro) sumiu com esses supostos módulos? Meus módulos estão certos, né?

Texto original, no caso de eu ter digitado ao errado:

818.png (138.96 KiB) Exibido 1509 vezes

[Maifa]

Olha, eu acredito que quem escreveu isso só cagou pro módulo mesmo. Porque até [tex3]|P_{n}|= \sqrt{(a_{1}+a_{n})^{n}}[/tex3]

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[tex3]|P_{n}|= \sqrt{(a_{1}+a_{n})^{n}}[/tex3]

fica garantido que o produto vá ser positivo. No resto do desenvolvimento não consigo identificar como que pode ocorrer essa mesma garantia, senão fazendo aquilo que tu botou ali, [tex3]|a_{1}|[/tex3]

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[tex3]|a_{1}|[/tex3]

.

[FelipeMartin]

Seu módulo está certo pro jeito que ele fez a prova.

O melhor jeito de provar essa fórmula é assim:

[tex3]P_n = \prod_{i=1}^n a_i = \prod_{i=1}^n a_1 \cdot q^{i-1} = a_1^n \cdot \prod_{i=1}^n q^{i-1} = a_1^n \cdot q^{\sum_{i=1}^n(i-1)} = a_1^n \cdot q^{\frac{n \cdot (n+1)}2 - n} = a_1^n \cdot q^{\frac{n \cdot (n-1)}2}[/tex3]

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[tex3]P_n = \prod_{i=1}^n a_i = \prod_{i=1}^n a_1 \cdot q^{i-1} = a_1^n \cdot \prod_{i=1}^n q^{i-1} = a_1^n \cdot q^{\sum_{i=1}^n(i-1)} = a_1^n \cdot q^{\frac{n \cdot (n+1)}2 - n} = a_1^n \cdot q^{\frac{n \cdot (n-1)}2}[/tex3]

Dai fica claro que não depende do módulo, mas como ele não calculou diretamente o [tex3]P_n[/tex3]

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[tex3]P_n[/tex3]

fica essa ambiguidade do módulo realmente

[anastacialina]

FelipeMartin, meu herói!!! Meu deus, consegui entender... é verdade, do jeito que você fez é possível perceber que nem precisamos do módulo, mas parece que naquela demonstração ele não sairia de lá...

Maifa, obrigada pela resposta. Todavia vou "eleger" a do Felipe, não é nada pessoal (eu nem te conheço, não daria pra ser pessoal, né? ha, ha), tá? De qualquer forma eu agradeço imensamente. Sempre que puder comente. Ah... dê uma olhada na resposta do Felipe, ele contornou o problema dos módulos.