Pré-Vestibular(UNICAMP 2021) Polinômios Tópico resolvido

Poste aqui problemas de Vestibulares. Informe a fonte, o ano e o assunto. Exemplo: (FUVEST - 2008) Logaritmos.

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(UNICAMP 2021) Polinômios

Mensagem não lida por MateusQqMD »

Sabendo que [tex3]a[/tex3] é um número real, considere os polinômios [tex3]p(x) = x^3 - x^2 +a[/tex3] e [tex3]q(x) = x^2 + x +2.[/tex3] Se [tex3]p(x)[/tex3] é divisível por [tex3]q(x),[/tex3] então

a) [tex3]a=3.[/tex3]
b) [tex3]a=2.[/tex3]
c) [tex3]a = -1.[/tex3]
d) [tex3]a = -4. [/tex3]



"Make us to choose the harder right instead of the easier wrong and never to be content with a half truth when the whole truth can be won."

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Re: (UNICAMP 2021) Polinômios

Mensagem não lida por MateusQqMD »

Se [tex3]p(x)[/tex3] é divisível por [tex3]q(x),[/tex3] segue que

[tex3]\begin{align}p(x) = q(x)(bx + c) \,\,\,\, & \Rightarrow \,\,\,\, x^3 - x^2 +a = (x^2 + x +2)(bx + c) \\ & \Rightarrow \,\,\,\, x^3 - x^2 +a = bx^3 + (b + c)x^2 + (2b + c)x + 2c \end{align}[/tex3]

Da igualdade entre polinômios, vem

[tex3]\begin{cases}
x^3 = bx^3 \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, b=1\\
- x^2 = (b + c)x^2 \,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, c = -2
\end{cases}[/tex3]

e daí

[tex3]p(x) = (x^2 + x +2)(x -2) \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, p(x) = x^3 -x^2 - 4[/tex3]

Portanto, [tex3]a = -4.[/tex3]



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