Pré-Vestibular ⇒ (UNICAMP 2021) Polinômios Tópico resolvido

[MateusQqMD]

Sabendo que [tex3]a[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a[/tex3]

é um número real, considere os polinômios [tex3]p(x) = x^3 - x^2 +a[/tex3]

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[tex3]p(x) = x^3 - x^2 +a[/tex3]

e [tex3]q(x) = x^2 + x +2.[/tex3]

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[tex3]q(x) = x^2 + x +2.[/tex3]

Se [tex3]p(x)[/tex3]

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[tex3]p(x)[/tex3]

é divisível por [tex3]q(x),[/tex3]

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[tex3]q(x),[/tex3]

então

a) [tex3]a=3.[/tex3]

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[tex3]a=3.[/tex3]

b) [tex3]a=2.[/tex3]

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[tex3]a=2.[/tex3]

c) [tex3]a = -1.[/tex3]

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[tex3]a = -1.[/tex3]

d) [tex3]a = -4. [/tex3]

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[tex3]a = -4. [/tex3]

[MateusQqMD]

Se [tex3]p(x)[/tex3]

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[tex3]p(x)[/tex3]

é divisível por [tex3]q(x),[/tex3]

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[tex3]q(x),[/tex3]

segue que

[tex3]\begin{align}p(x) = q(x)(bx + c) \,\,\,\, & \Rightarrow \,\,\,\, x^3 - x^2 +a = (x^2 + x +2)(bx + c) \\ & \Rightarrow \,\,\,\, x^3 - x^2 +a = bx^3 + (b + c)x^2 + (2b + c)x + 2c \end{align}[/tex3]

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[tex3]\begin{align}p(x) = q(x)(bx + c) \,\,\,\, & \Rightarrow \,\,\,\, x^3 - x^2 +a = (x^2 + x +2)(bx + c) \\ & \Rightarrow \,\,\,\, x^3 - x^2 +a = bx^3 + (b + c)x^2 + (2b + c)x + 2c \end{align}[/tex3]

Da igualdade entre polinômios, vem

[tex3]\begin{cases}
x^3 = bx^3 \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, b=1\\
- x^2 = (b + c)x^2 \,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, c = -2
\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}
x^3 = bx^3 \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, b=1\\
- x^2 = (b + c)x^2 \,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, c = -2
\end{cases}[/tex3]

e daí

[tex3]p(x) = (x^2 + x +2)(x -2) \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, p(x) = x^3 -x^2 - 4[/tex3]

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[tex3]p(x) = (x^2 + x +2)(x -2) \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, p(x) = x^3 -x^2 - 4[/tex3]

Portanto, [tex3]a = -4.[/tex3]

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[tex3]a = -4.[/tex3]