Eis que abro minha página e eu sou você por um minuto:
- buglouco.png (9.97 KiB) Exibido 1512 vezes
glitch doido né?
Enfim, eu me deparei com essa sua questão esses dias, porque eu escrevi um livro sobre esse assunto. É uma excelente pergunta!
A resposta é a seguinte: é o teorema de Tales. Essa resposta é meio zoada, então vamos "provar" o teorema de Tales.
Primeiro é bom constar:
Axioma é uma sentença que você assume que é verdade sem prová-la seja ela indemonstrável ou não. A matemática toda é criada a partir de uns axiomas básicos (se quiser saber mais procure os postulados de Euclides ou os axiomas de Zermelo).
Pra provar o teorema de Tales a gente assume algumas coisinhas:
1-)- A área de um triângulo é metade do produto da base vezes a altura. Isso é quase um axioma.
2-) - O critério de congruência A-A-L é válido, ou seja: Se dois triângulos tiverem os três ângulos iguais e um lado respectivo em comum, então os triângulos são iguais/congruentes. Isso não é um axioma, mas dá trabalho provar.
3-) - Dada uma reta [tex3]r[/tex3]
e um ponto [tex3]P[/tex3]
, ambos aleatórios, então sempre pode-se traçar por [tex3]P[/tex3]
uma, e apenas uma, reta paralela a [tex3]r[/tex3]
. Esse é um axioma de Euclides, chamado axioma do paralelismo. Muito importante.
4-) - Quando duas retas paralelas são cortadas por uma transversal, obtemos ângulos colaterais iguais. Isso não é um axioma, mas dá trabalho provar (porque eu teria que te mostrar os outros axiomas pra provar esse aqui, por isso eu botei num livro tudo isso aqui).
Então, vamos lá: Seja dado o [tex3]\triangle ABC[/tex3]
e sejam [tex3]P[/tex3]
, entre [tex3]A[/tex3]
e [tex3]B[/tex3]
, e [tex3]Q[/tex3]
, entre [tex3]A[/tex3]
e [tex3]C[/tex3]
, de forma que [tex3]PQ \parallel BC[/tex3]
, então: [tex3]\frac{AP}{PB} = \frac{AQ}{QC}[/tex3]
.
Prova:
- imagefulera.png (7.91 KiB) Exibido 1512 vezes
Sejam [tex3]M[/tex3]
e [tex3]N[/tex3]
respectivamente os pés das alturas de [tex3]P[/tex3]
em relação a [tex3]AC[/tex3]
e de [tex3]Q[/tex3]
em relação a [tex3]AB[/tex3]
. Então:
[tex3]\frac{[APQ]}{[BPQ]} = \frac{\frac12 \cdot AP \cdot QN}{\frac12 \cdot PB \cdot QN} = \frac{AP}{PB}[/tex3]
Analogamente:
[tex3]\frac{[APQ]}{[QCP]} = \frac{AQ}{QC}[/tex3]
Agora sejam [tex3]X[/tex3]
e [tex3]Y[/tex3]
os pés das alturas de [tex3]B[/tex3]
e [tex3]C[/tex3]
até [tex3]PQ[/tex3]
. Como [tex3]PQ \parallel BC[/tex3]
o item (4) diz que [tex3]BXYC[/tex3]
é um retângulo. Por conta do A-A-L, os lados opostos de um retângulo são iguais e no caso teríamos [tex3]BX = CY[/tex3]
. Isso implica que [tex3][BPQ] = [CPQ][/tex3]
(mesma base [tex3]PQ[/tex3]
e mesmas alturas [tex3]BX=CY[/tex3]
). O que prova o que queríamos: [tex3]\frac{AP}{PB} = \frac{[APQ]}{[BPQ]} = \frac{[APQ]}{[QCP]} = \frac{AQ}{QC}[/tex3]
.
Agora veja que:
[tex3]\frac{AP}{PB} = \frac{AQ}{QC}\iff \frac{AP}{PB}+1 = \frac{AQ}{QC}+1 \iff \frac{AP+PB}{PB} = \frac{AQ+QC}{QC} \iff \frac{AB}{PB}= \frac{AC}{QC} \iff [/tex3]
[tex3]\iff \frac{PB}{AB}= \frac{QC}{AC} \iff 1 - \frac{PB}{AB} = 1 - \frac{QC}{AC} \iff \frac{AP}{AB} = \frac{AQ}{AC}[/tex3]
.
Ufa! Você queria a volta disso aqui, você quer que a partir da expressão [tex3]\frac{AP}{AB} = \frac{AQ}{AC}[/tex3]
provemos que [tex3]PQ \parallel BC[/tex3]
. Muito simples: trace a reta [tex3]PQ' \parallel BC[/tex3]
com [tex3]Q'[/tex3]
no segmento [tex3]AC[/tex3]
. Do teorema que acabamos de provar: [tex3]\frac{AP}{AB} = \frac{AQ'}{AC} = \frac{AQ}{AC} \iff AQ' = AQ[/tex3]
de novo temos que correr para os axiomas de distância para saber que isso implica que [tex3]Q'=Q[/tex3]
e portanto [tex3]PQ \parallel BC[/tex3]
.
φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.
Poderiam me ajudar aqui, por favor? Não é uma questão de vestibular propriamente dita.
Mas vou continuar a estudar, simplesmente estudar, talvez não pro ITA. Em qualquer caso não jogarei fora essas horas de estudo. Damn it!
