Pré-Vestibular(UECE 2019) Geometria Plana - Semelhança de Triângulos Tópico resolvido

Poste aqui problemas de Vestibulares. Informe a fonte, o ano e o assunto. Exemplo: (FUVEST - 2008) Logaritmos.

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(UECE 2019) Geometria Plana - Semelhança de Triângulos

Mensagem não lida por albeistein »

Considere um terreno com a forma de um triângulo retângulo cuja medida dos dois menores lados são respectivamente 30 m e 40 m. Deseja-se cercar um quadrado no interior do terreno com um dos vértices sobre o maior lado e os demais sobre os outros lados do terreno.

Nessas condições, a medida da área do quadrado, em m², será, aproximadamente, igual a

a) 294.
b) 302.
c) 290.
d) 298.
Resposta

A
Fiz da seguinte forma e pergunto qual o equívoco:
  • Hipotenusa * Altura = Produto dos catetos
Calculando a medida da hipotenusa por Pitágoras e aplicando tudo na fórmula, h = 24 m.
Ao meu ver, a altura do triângulo retângulo (relativa à hipotenusa) corresponde à diagonal do quadrado.
[tex3]h = 24 = L\sqrt{2}[/tex3]
[tex3]L^{2} = 288[/tex3]
Aproximando, L² = 290.

Última edição: MateusQqMD (Sáb 19 Dez, 2020 12:32). Total de 2 vezes.
Razão: arrumar título.



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Re: (UECE 2019) Geometria Plana - Semelhança de Triângulos

Mensagem não lida por NigrumCibum »

20201209_112008.jpg
20201209_112008.jpg (17.58 KiB) Exibido 3744 vezes
É isso que a questão deseja...[tex3]x^2\approx 294~m^2[/tex3]
E não faz sentido a altura relativa à hipotenusa ser diagonal do quadrado, pois o triângulo não é retângulo isósceles....

Última edição: NigrumCibum (Qua 09 Dez, 2020 11:26). Total de 1 vez.


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Re: (UECE 2019) Geometria Plana - Semelhança de Triângulos

Mensagem não lida por albeistein »

NigrumCibum escreveu:
Qua 09 Dez, 2020 11:21
E não faz sentido a altura relativa à hipotenusa ser diagonal do quadrado, pois o triângulo não é retângulo isósceles....
Pode demonstrar isso?



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Re: (UECE 2019) Geometria Plana - Semelhança de Triângulos

Mensagem não lida por NigrumCibum »

albeistein, Seja ABC um triângulo retângulo. Suponha que a altura relativa à hipotenusa é diagonal do quadrado inscrito a esse triângulo, como a diagonal divide os ângulos em 2 de 45° então [tex3]\beta=45°[/tex3] o que implica que o triângulo é retângulo isósceles.
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Re: (UECE 2019) Geometria Plana - Semelhança de Triângulos

Mensagem não lida por albeistein »

NigrumCibum escreveu:
Qua 09 Dez, 2020 11:21
XX.jpg
XX.jpg (17.64 KiB) Exibido 3705 vezes
Me explica a questão dos ângulos, como você chegou nas duas congruências?
Última edição: albeistein (Ter 15 Dez, 2020 12:02). Total de 1 vez.



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Re: (UECE 2019) Geometria Plana - Semelhança de Triângulos

Mensagem não lida por NigrumCibum »

albeistein,
20201218_183812.jpg
20201218_183812.jpg (13.1 KiB) Exibido 3669 vezes
ABCD é um quadrado. Seja [tex3]\angle AFE=\alpha [/tex3] , [tex3]\angle AEF=90°-\alpha [/tex3] , como [tex3]ED\perp DC[/tex3] então [tex3]\angle ECD=180°-90°-(90°-\alpha)=\alpha.[/tex3] Analogamente, pode-se mostrar que [tex3]\angle FCB=\angle CED=90°-\alpha. [/tex3]
Ou observe que DC||AF, e por paralelismo ocorrem as congruências entre os ângulos.
Última edição: NigrumCibum (Sex 18 Dez, 2020 18:46). Total de 2 vezes.


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Re: (UECE 2019) Geometria Plana - Semelhança de Triângulos

Mensagem não lida por albeistein »

NigrumCibum escreveu:
Sex 18 Dez, 2020 18:43
Ou observe que DC||AF, e por paralelismo ocorrem as congruências entre os ângulos.
Obrigado, colega.
Vendo essa explicação, senti que precisaria revisar o conteúdo "Retas paralelas cortadas por um transversal" e fiz isso.
Trazendo o conteúdo para a questão, os segmentos de reta DC e AF são segmentos paralelos cortados pela transversal EF, de forma que o ângulo DCE e BFC são correspondentes e, portanto, congruentes. Aí já dá aplicar o caso de semelhança AA ou usar que a soma dos ângulos de um triângulo resulta 180º. :D



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Re: (UECE 2019) Geometria Plana - Semelhança de Triângulos

Mensagem não lida por albeistein »

Eu vi esse macete acho que no Ferreto, mas não lembro bem se é isso mesmo, analisa, por gentileza?
"Se um segmento divide um triângulo determinando um triângulo menor e um maior (original) e é paralelo a um dos lados e intercepta os outros dois lados, os triângulo maior e menor são semelhantes."



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Re: (UECE 2019) Geometria Plana - Semelhança de Triângulos

Mensagem não lida por NigrumCibum »

albeistein, é isso aí mesmo. A demonstração usa a consequência das retas serem paralelas.
Última edição: NigrumCibum (Sáb 19 Dez, 2020 11:24). Total de 1 vez.


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Re: (UECE 2019) Geometria Plana - Semelhança de Triângulos

Mensagem não lida por albeistein »

Show, colega. Obrigado!!!




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