Pré-Vestibular ⇒ Análise Combinatória Tópico resolvido

[Gabi123]

Kátia está organizando suas gavetas e encontra 4 relógios, um com pulseira azul, um com pulseira branca, um com pulseira vermelha e um com pulseira preta. Ela decide não mais guardá-los na gaveta, mas sim em 4 caixas numeradas conforme é apresentado na figura abaixo.

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O número de maneiras de Kátia guardar todos os 4 relógios de forma que uma mesma caixa NÃO contenha mais do que dois relógios é igual a:

a) 24
b) 26
c) 144
d) 204
e) 256

Resposta

---

Gabarito letra D

[jopagliarin]

Oi, também tenho dúvida na questão

Vou colocar aqui a resolução do Hexag:

Se não houvesse restrições de número de relógios por caixa, o total de maneiras possíveis de guardar as 4 relógios seria de 4 x 4 x 4 x 4 = 256

Porém, de acordo com a restrição imposta no enunciado, deste total é preciso descontar as maneiras que contemplam mais de dois relógios por caixa, ou seja:

1) Uma caixa com 3 relógios, outra com 1 e as outras duas com nenhuma:

4.[tex3]C_{4}^{3}[/tex3].3.[tex3]C_{1}^{1}[/tex3] = 48 maneiras

2) Uma caixa com 4 relógios e as outras com nenhuma: há apenas 4 possibilidades, visto que só existem 4 caixas e que todos os relógios serão guardadas na mesma caixa.

Assim, o total de maneiras de Kátia pode guardar todos os 4 relógios de forma que uma mesma caixa não contenha mais do que dois relógios, é igual a 256 - 48 - 4 = 204.
Alternativa D

____

não compreendi a parte em destacado, mais especificamente [tex3]C_{4}^{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C_{4}^{3}[/tex3]

, porque, para mim, dessa forma parece q vc vai combinar 3 bolinhas em 4 caixas diferentes, e não 3 bolinhas numa mesma caixa.

será que alguém pode nos ajudar?

[digthefirst]

Para elucidar a parte destacada na resolução anterior:

- Primeiramente, escolhemos uma caixa para conter 3 relógios: há 4 maneiras de fazer isso.
- Então escolhemos, dentre os quatro relógios, os três que irão ficar juntos, o que pode ser feito de [tex3]4 \choose 3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]4 \choose 3[/tex3]

maneiras
- Escolhemos agora a caixa, dentre as três restantes, que irá conter o relógio solitário: há 3 maneiras de fazer isso
- Por último, o relógio solitário é o que sobrou, ou, redundantemente, pode ser escolhido dentre uma opção: [tex3]1 \choose 1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]1 \choose 1[/tex3]

Assim, o total de maneiras de ter essa configuração de relógios é [tex3]4 \cdot[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]4 \cdot[/tex3]

[tex3]4 \choose 3\cdot 3 \cdot1 \choose 1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]4 \choose 3\cdot 3 \cdot1 \choose 1[/tex3]

Espero ter ajudado

[jopagliarin]

muito obrigada, compreendi

[Carlosft57]

Durante a organização das suas coisas, a kátia encontra numa das gavetas 4 relógios, um com pulseira azul, um com pulseira branca, um com pulseira vermelha e um com pulseira preta.
Ela decide então não continuar a guardá-los na gaveta, mas sim em 4 caixas numeradas conforme a figura abaixo.

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De quantas maneiras diferentes a Kátia pode guardar todos os 4 relógios, de forma que uma mesma caixa não contenha mais do que 2 relógios?

E se as caixas não fossem numeradas?

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COMBINATÓRIA - Guardar 4 relógios em 4 caixas / RASCmat #21
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Este vídeo calcula o total de hipóteses que existe para guardar 4 relógios diferentes em 4 caixas diferentes (2 níveis de seleção), com a restrição de que em cada caixa não podem ficar mais do que 2 relógios.
Como questão adicional e para comparação, é efetuado o cálculo para a variante das caixas serem iguais (apenas 1 nível de seleção).

É efetuada resolução por 2 métodos diferentes:
► recorrendo ao Princípio Fundamental da Contagem (PFC)
► com base nas Permutações com repetição ( a ordem importa mas a repetição é desprezável ) e em combinações sem repetição.

Link do vídeo: https://youtu.be/AiAjzIreWsM

Alguns slides relativos à explicação em vídeo:
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