Pré-Vestibular ⇒ (USF) estudo da circunferência

[leonardodlc]

Para a retirada de um tumor cutâneo optou-se por uma cirurgia de ressecção em formato de triângulo. Suponha que a delimitação da ressecção se deu a partir do triângulo ABC representado na figura a seguir, o qual resulta da intersecção da circunferência de equação λ : x2 + y2 – 4x – 6y – 12 = 0 com a reta s : x + 2y – 3 = 0.



A medida da área deste triângulo é

a-10u.a
b-15u.a
c-18u.a
d-22u.a
e-25u.a

Resposta

---

a

[Tassandro]

leonardodlc,
Inicialmente, vamos achar os ponto de interseção resolvendo o sistema
[tex3]\begin{cases}x^2+y^2-4x-6y-12=0\\
x+2y-3=0\end{cases}\tag*{}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}x^2+y^2-4x-6y-12=0\\
x+2y-3=0\end{cases}\tag*{}[/tex3]

Isolando uma variável na equação de baixo e substituindo na de cima, achando os pontos [tex3](5,-1)[/tex3]

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[tex3](5,-1)[/tex3]

e [tex3](-3, 3)[/tex3]

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[tex3](-3, 3)[/tex3]

.
A medida da base de nosso triângulo é justamente a distância entre esses dois pontos, valendo [tex3]\sqrt{(5+3)^2+(3+1)^2}=4\sqrt5[/tex3]

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[tex3]\sqrt{(5+3)^2+(3+1)^2}=4\sqrt5[/tex3]

Agora, completando quadrados, note que o centro dessa circunferência é o ponto [tex3](2,3)[/tex3]

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[tex3](2,3)[/tex3]

. Calculemos a sua distância até a reta s:
[tex3]d=\frac{|2+2\cdot3-3|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\sqrt5[/tex3]

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[tex3]d=\frac{|2+2\cdot3-3|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\sqrt5[/tex3]

Essa distância é a altura do triângulo em relação à base que acabamos de calcular.
Logo, como sabemos,
[tex3]A=\frac{bh}{2}=\frac{4\sqrt5\cdot\sqrt5}{2}=10\text{ u.a.}\tag*{}[/tex3]

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[tex3]A=\frac{bh}{2}=\frac{4\sqrt5\cdot\sqrt5}{2}=10\text{ u.a.}\tag*{}[/tex3]