Pré-Vestibular

Sendo [tex3]a=\begin{pmatrix}
n \\
0 \\
\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
n \\
2 \\
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
n \\
4 \\
\end{pmatrix}-...[/tex3] e [tex3]b=\begin{pmatrix}
n \\
1 \\
\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
n \\
3 \\
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
n \\
5 \\
\end{pmatrix}-...[/tex3] , provar que [tex3]a^2+b^2=2^n[/tex3] , a partir de [tex3](1+i)^n[/tex3]

Minha percepção:

Resposta

O valor pedido é o quadrado do módulo do número complexo a+b (percebi isso desenvolvendo a dica). Mas como metade está subtraindo (essa parte achei meio jogada), é metade do quadrado do módulo do número complexo a+b. Isso dá 2^n (teorema das linhas)

Mensagem não lida por **A13235378** » 15 Set 2020, 19:37

Olá:

[tex3](1+i)^{n}=\begin{pmatrix}
n\\
0 \\
\end{pmatrix}i^0+\begin{pmatrix}
n \\
1 \\
\end{pmatrix}i^1+\begin{pmatrix}
n \\
2 \\
\end{pmatrix}i^2+..[/tex3]

Lembre-se que a unidade imaginaria repete a cada potencia 4:

[tex3]i^{1}=i,i^2=-1,i^3=-i,i^4=1[/tex3]

[tex3](1+i)^{n}=\begin{pmatrix}
n\\
0 \\
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
n \\
1 \\
\end{pmatrix}i-\begin{pmatrix}
n \\
2 \\
\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
n \\
3 \\
\end{pmatrix}i+...[/tex3]

Logo concluímos que

[tex3](1+i)^{n}=a+bi[/tex3]

Coeficientes pares representam a parte real e coeficientes impares representam a parte imaginaria (sempre alternando o sinal)

Logo,

[tex3]|(1+i)^n|=|a+bi|[/tex3]

Pela propriedade do modulo ,

[tex3]|(1+i)|^n=|a+bi|[/tex3]
[tex3](\sqrt{1^2+1^2})^n=\sqrt{a^2+b^2}[/tex3]
[tex3](\sqrt{2^n})=\sqrt{a^2+b^2}[/tex3]
[tex3]2^{n}=a^2+b^2[/tex3]

Pré-Vestibular ⇒ (POLI - 67) Binômio de Newton Tópico resolvido

(POLI - 67) Binômio de Newton

Re: (POLI - 67) Binômio de Newton

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