Pré-Vestibular ⇒ (Poliedro) Conceitos preliminares da teoria dos números Tópico resolvido

[anastacialina]

Oi, gente! Sup? Poderiam me ajudar nessa questão aqui? Só a lebra "b", okay?

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Poliedro — Prove as seguintes afirmações:
a) a é par e a² é par
b) Todo número quadrado perfeito impar, é da forma 8K + 1

Sem gabarito. Na folha de respostas está apenas escrito "demonstração".

[Deleted User 25040]

como vc ja sabe que se a é par a² tbm, então vou moostrar que se b é impar b² tbm é
b = 2x+1 com x inteiro
[tex3]b^2=(2x+1)^2=4x^2+4x+1=2(2x^2+2x)+1[/tex3]

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[tex3]b^2=(2x+1)^2=4x^2+4x+1=2(2x^2+2x)+1[/tex3]

mas como um quadrado perfeito é um numero ao quadrado, então se o nosso numero é um quadrado impar, então sua raiz tbm é impar pelo que foi mostrado, então [tex3]8k+1 = (2y+1)^2=4y^^2+4y+1[/tex3]

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[tex3]8k+1 = (2y+1)^2=4y^^2+4y+1[/tex3]

[tex3]8k=4y^2+4y[/tex3]

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[tex3]8k=4y^2+4y[/tex3]

[tex3]2k=y^2+y[/tex3]

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[tex3]2k=y^2+y[/tex3]

agora precisamos mostrar que para todo k podemos encontrar um y inteiro, ja que nossa raiz é exata
[tex3]k=\frac{(y+1)y}{2}[/tex3]

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[tex3]k=\frac{(y+1)y}{2}[/tex3]

e percebe que nossa divisão sempre é exata, se nosso y for impar, y+1 é divisível por 2, e se nosso y for par, ai y ja é divisível por 2 e teremos uma divisão exata

[anastacialina]

null, muito obrigado sweetie! ♥♥♥

[Deleted User 24633]

Outra forma:
Por definição, se [tex3]b[/tex3]

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[tex3]b[/tex3]

é ímpar então [tex3]b = 2p +1[/tex3]

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[tex3]b = 2p +1[/tex3]

para algum inteiro [tex3]p.[/tex3]

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[tex3]p.[/tex3]

Logo [tex3]b^2 = {(2p+1)}^2 = 4p^2 + 4p +1 = 4p(p+1) +1.[/tex3]

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[tex3]b^2 = {(2p+1)}^2 = 4p^2 + 4p +1 = 4p(p+1) +1.[/tex3]

Como [tex3]p[/tex3]

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[tex3]p[/tex3]

e [tex3]p+1[/tex3]

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[tex3]p+1[/tex3]

são números consecutivos, pelo menos um deles deve ser par (em verdade, exatamente um); assim [tex3]p(p+1)[/tex3]

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[tex3]p(p+1)[/tex3]

é par, ou seja [tex3]p(p+1) = 2k[/tex3]

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[tex3]p(p+1) = 2k[/tex3]

para algum inteiro [tex3]k.[/tex3]

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[tex3]k.[/tex3]

Daí [tex3]b^2 = 4p(p+1) +1 = 4\cdot 2k +1 = 8k +1[/tex3]

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[tex3]b^2 = 4p(p+1) +1 = 4\cdot 2k +1 = 8k +1[/tex3]

Q.E.D.

[Deleted User 25040]

muito bom pedro1729, achei seu jeito mais fácil do que o meu

[Deleted User 24633]

Olá anastacialina e null. Uma outra solução para o b) que eu pensei foi a seguinte:

Suponha que [tex3]b[/tex3]

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[tex3]b[/tex3]

é ímpar, ou seja [tex3]b-1[/tex3]

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[tex3]b-1[/tex3]

e [tex3]b+1[/tex3]

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[tex3]b+1[/tex3]

são ambos pares, isto é [tex3]\frac{b-1}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{b-1}{2}[/tex3]

e [tex3]\frac{b+1}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{b+1}{2}[/tex3]

são ambos inteiros.
Considere o número [tex3]\left(\dfrac{b-1}{2} \right)\cdot \left( \dfrac{b+1}{2}\right). [/tex3]

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[tex3]\left(\dfrac{b-1}{2} \right)\cdot \left( \dfrac{b+1}{2}\right). [/tex3]

Como a soma desse dois números é [tex3]\dfrac{b-1}2 + \dfrac{b+1}{2} = b[/tex3]

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[tex3]\dfrac{b-1}2 + \dfrac{b+1}{2} = b[/tex3]

que é um número ímpar, segue por paridade que um desses deve ser par. Dessa forma (em qualquer caso) [tex3]\left(\dfrac{b-1}{2} \right)\cdot \left( \dfrac{b+1}{2}\right)[/tex3]

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[tex3]\left(\dfrac{b-1}{2} \right)\cdot \left( \dfrac{b+1}{2}\right)[/tex3]

é um número par ou seja [tex3]\left(\dfrac{b-1}{2} \right)\cdot \left( \dfrac{b+1}{2}\right) = 2k[/tex3]

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[tex3]\left(\dfrac{b-1}{2} \right)\cdot \left( \dfrac{b+1}{2}\right) = 2k[/tex3]

para algum inteiro [tex3]k.[/tex3]

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[tex3]k.[/tex3]

Mas [tex3]\left(\dfrac{b-1}{2} \right)\cdot \left( \dfrac{b+1}{2}\right)= \dfrac{b^2-1}{4}[/tex3]

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[tex3]\left(\dfrac{b-1}{2} \right)\cdot \left( \dfrac{b+1}{2}\right)= \dfrac{b^2-1}{4}[/tex3]

e então [tex3]\dfrac{b^2-1}{4} = 2k[/tex3]

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[tex3]\dfrac{b^2-1}{4} = 2k[/tex3]

ou seja [tex3]b^2 = 8k+1[/tex3]

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[tex3]b^2 = 8k+1[/tex3]

Q.E.D.

[Deleted User 25040]

Como a soma desse dois números é b−12+b+12=bb−12+b+12=b que é um número ímpar, segue por paridade que um desses deve ser par

como n estudei paridade, outra maneira de provar seria b = 2k+1 pois por hipótese b é impar, ai teríamos
[tex3]\dfrac{2k+1-1}2 + \dfrac{2k+1+1}{2} = \dfrac{2k}2 + \dfrac{2(k+1)}{2}=k+(k+1)[/tex3]

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[tex3]\dfrac{2k+1-1}2 + \dfrac{2k+1+1}{2} = \dfrac{2k}2 + \dfrac{2(k+1)}{2}=k+(k+1)[/tex3]

como temos dois números consecutivos um deles é par.
muito interessante essa ideia de pegar o antecessor e o sucessor de b