Pré-Vestibular ⇒ (Poliedro) Conceitos preliminares da teoria dos números Tópico resolvido
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Set 2020
08
08:14
(Poliedro) Conceitos preliminares da teoria dos números
Oi, gente! Sup? Poderiam me ajudar nessa questão aqui? Só a lebra "b", okay?
Poliedro — Prove as seguintes afirmações:
a) a é par e a² é par
b) Todo número quadrado perfeito impar, é da forma 8K + 1
Sem gabarito. Na folha de respostas está apenas escrito "demonstração".
Poliedro — Prove as seguintes afirmações:
a) a é par e a² é par
b) Todo número quadrado perfeito impar, é da forma 8K + 1
Sem gabarito. Na folha de respostas está apenas escrito "demonstração".
Trabalhar e estudar pro ITA não rola! Mas vou continuar a estudar, simplesmente estudar, talvez não pro ITA. Em qualquer caso não jogarei fora essas horas de estudo. Damn it!
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Set 2020
08
09:14
Re: (Poliedro) Conceitos preliminares da teoria dos números
como vc ja sabe que se a é par a² tbm, então vou moostrar que se b é impar b² tbm é
b = 2x+1 com x inteiro
[tex3]b^2=(2x+1)^2=4x^2+4x+1=2(2x^2+2x)+1[/tex3]
mas como um quadrado perfeito é um numero ao quadrado, então se o nosso numero é um quadrado impar, então sua raiz tbm é impar pelo que foi mostrado, então [tex3]8k+1 = (2y+1)^2=4y^²+4y+1[/tex3]
[tex3]8k=4y^2+4y[/tex3]
[tex3]2k=y^2+y[/tex3]
agora precisamos mostrar que para todo k podemos encontrar um y inteiro, ja que nossa raiz é exata
[tex3]k=\frac{(y+1)y}{2}[/tex3]
e percebe que nossa divisão sempre é exata, se nosso y for impar, y+1 é divisível por 2, e se nosso y for par, ai y ja é divisível por 2 e teremos uma divisão exata
b = 2x+1 com x inteiro
[tex3]b^2=(2x+1)^2=4x^2+4x+1=2(2x^2+2x)+1[/tex3]
mas como um quadrado perfeito é um numero ao quadrado, então se o nosso numero é um quadrado impar, então sua raiz tbm é impar pelo que foi mostrado, então [tex3]8k+1 = (2y+1)^2=4y^²+4y+1[/tex3]
[tex3]8k=4y^2+4y[/tex3]
[tex3]2k=y^2+y[/tex3]
agora precisamos mostrar que para todo k podemos encontrar um y inteiro, ja que nossa raiz é exata
[tex3]k=\frac{(y+1)y}{2}[/tex3]
e percebe que nossa divisão sempre é exata, se nosso y for impar, y+1 é divisível por 2, e se nosso y for par, ai y ja é divisível por 2 e teremos uma divisão exata
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Set 2020
08
09:31
Re: (Poliedro) Conceitos preliminares da teoria dos números
null, muito obrigado sweetie! ♥♥♥
Trabalhar e estudar pro ITA não rola! Mas vou continuar a estudar, simplesmente estudar, talvez não pro ITA. Em qualquer caso não jogarei fora essas horas de estudo. Damn it!
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Set 2020
08
15:52
Re: (Poliedro) Conceitos preliminares da teoria dos números
Outra forma:
Por definição, se [tex3]b[/tex3] é ímpar então [tex3]b = 2p +1[/tex3] para algum inteiro [tex3]p.[/tex3]
Logo [tex3]b^2 = {(2p+1)}^2 = 4p^2 + 4p +1 = 4p(p+1) +1.[/tex3] Como [tex3]p[/tex3] e [tex3]p+1[/tex3] são números consecutivos, pelo menos um deles deve ser par (em verdade, exatamente um); assim [tex3]p(p+1)[/tex3] é par, ou seja [tex3]p(p+1) = 2k[/tex3] para algum inteiro [tex3]k.[/tex3]
Daí [tex3]b^2 = 4p(p+1) +1 = 4\cdot 2k +1 = 8k +1[/tex3] Q.E.D.
Por definição, se [tex3]b[/tex3] é ímpar então [tex3]b = 2p +1[/tex3] para algum inteiro [tex3]p.[/tex3]
Logo [tex3]b^2 = {(2p+1)}^2 = 4p^2 + 4p +1 = 4p(p+1) +1.[/tex3] Como [tex3]p[/tex3] e [tex3]p+1[/tex3] são números consecutivos, pelo menos um deles deve ser par (em verdade, exatamente um); assim [tex3]p(p+1)[/tex3] é par, ou seja [tex3]p(p+1) = 2k[/tex3] para algum inteiro [tex3]k.[/tex3]
Daí [tex3]b^2 = 4p(p+1) +1 = 4\cdot 2k +1 = 8k +1[/tex3] Q.E.D.
Última edição: Deleted User 24633 (Ter 08 Set, 2020 15:56). Total de 6 vezes.
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Set 2020
08
16:09
Re: (Poliedro) Conceitos preliminares da teoria dos números
muito bom pedro1729, achei seu jeito mais fácil do que o meu
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Set 2020
11
19:42
Re: (Poliedro) Conceitos preliminares da teoria dos números
Olá anastacialina e null. Uma outra solução para o b) que eu pensei foi a seguinte:
Suponha que [tex3]b[/tex3] é ímpar, ou seja [tex3]b-1[/tex3] e [tex3]b+1[/tex3] são ambos pares, isto é [tex3]\frac{b-1}{2}[/tex3] e [tex3]\frac{b+1}{2}[/tex3] são ambos inteiros.
Considere o número [tex3]\left(\dfrac{b-1}{2} \right)\cdot \left( \dfrac{b+1}{2}\right). [/tex3] Como a soma desse dois números é [tex3]\dfrac{b-1}2 + \dfrac{b+1}{2} = b[/tex3] que é um número ímpar, segue por paridade que um desses deve ser par. Dessa forma (em qualquer caso) [tex3]\left(\dfrac{b-1}{2} \right)\cdot \left( \dfrac{b+1}{2}\right)[/tex3] é um número par ou seja [tex3]\left(\dfrac{b-1}{2} \right)\cdot \left( \dfrac{b+1}{2}\right) = 2k[/tex3] para algum inteiro [tex3]k.[/tex3] Mas [tex3]\left(\dfrac{b-1}{2} \right)\cdot \left( \dfrac{b+1}{2}\right)= \dfrac{b^2-1}{4}[/tex3] e então [tex3]\dfrac{b^2-1}{4} = 2k[/tex3] ou seja [tex3]b^2 = 8k+1[/tex3] Q.E.D.
Suponha que [tex3]b[/tex3] é ímpar, ou seja [tex3]b-1[/tex3] e [tex3]b+1[/tex3] são ambos pares, isto é [tex3]\frac{b-1}{2}[/tex3] e [tex3]\frac{b+1}{2}[/tex3] são ambos inteiros.
Considere o número [tex3]\left(\dfrac{b-1}{2} \right)\cdot \left( \dfrac{b+1}{2}\right). [/tex3] Como a soma desse dois números é [tex3]\dfrac{b-1}2 + \dfrac{b+1}{2} = b[/tex3] que é um número ímpar, segue por paridade que um desses deve ser par. Dessa forma (em qualquer caso) [tex3]\left(\dfrac{b-1}{2} \right)\cdot \left( \dfrac{b+1}{2}\right)[/tex3] é um número par ou seja [tex3]\left(\dfrac{b-1}{2} \right)\cdot \left( \dfrac{b+1}{2}\right) = 2k[/tex3] para algum inteiro [tex3]k.[/tex3] Mas [tex3]\left(\dfrac{b-1}{2} \right)\cdot \left( \dfrac{b+1}{2}\right)= \dfrac{b^2-1}{4}[/tex3] e então [tex3]\dfrac{b^2-1}{4} = 2k[/tex3] ou seja [tex3]b^2 = 8k+1[/tex3] Q.E.D.
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Set 2020
11
19:51
Re: (Poliedro) Conceitos preliminares da teoria dos números
como n estudei paridade, outra maneira de provar seria b = 2k+1 pois por hipótese b é impar, ai teríamos
[tex3]\dfrac{2k+1-1}2 + \dfrac{2k+1+1}{2} = \dfrac{2k}2 + \dfrac{2(k+1)}{2}=k+(k+1)[/tex3]
como temos dois números consecutivos um deles é par.
muito interessante essa ideia de pegar o antecessor e o sucessor de b
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