Pré-Vestibular ⇒ (PUC-PR - 2019) Geometria Espacial Tópico resolvido

[gabemreis]

Do cone circular da figura 1 foi destacado um cone menor, semelhante a ele, e do sólido que restou foram destacados dois outros cones. Esses três cones obtidos do sólido original (figura 1) estão representados, em destaque, nas figuras 2, 3 e 4. As bases dos cones das figuras 2 e 3 são círculos idênticos, bem como as bases dos sólidos das figuras 1 e 4.

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Indicando os volumes dos cones das figuras 1, 2, 3 e 4 por [tex3]V_1, V_2, V_3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]V_1, V_2, V_3[/tex3]

e [tex3]V_4[/tex3]

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[tex3]V_4[/tex3]

, respectivamente, é CORRETO afirmar que

a) se [tex3]V_4=4\cdot V_3[/tex3]

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[tex3]V_4=4\cdot V_3[/tex3]

, então [tex3]V_1=8\cdot V_2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]V_1=8\cdot V_2[/tex3]

b) [tex3]V_1 = V_2 + V_3 + V_4[/tex3]

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[tex3]V_1 = V_2 + V_3 + V_4[/tex3]

c) se os cones das figuras 2, 3 e 4 têm alturas de mesma medida, então [tex3]V_4 = 2 · V_3[/tex3]

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[tex3]V_4 = 2 · V_3[/tex3]

d) se [tex3]V_2 = V_3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]V_2 = V_3[/tex3]

, então [tex3]V_3 = \frac{1}{8} · V_1[/tex3]

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[tex3]V_3 = \frac{1}{8} · V_1[/tex3]

e [tex3]V_4 = 6 · V_3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]V_4 = 6 · V_3[/tex3]

e) se os cones das figuras 2, 3 e 4 têm alturas de mesma medida, então [tex3]V_3 + V_4 = \frac{7}{8} · V_1[/tex3]

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[tex3]V_3 + V_4 = \frac{7}{8} · V_1[/tex3]

OBS.: Gostaria de saber por que a letra B está errada.

Resposta

---

A

[Tassandro]

gabemreis,
Seja [tex3]H[/tex3]

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[tex3]H[/tex3]

a altura do cone maior e [tex3]h[/tex3]

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[tex3]h[/tex3]

a altura do cone da figura 2. Além disso, seja [tex3]R[/tex3]

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[tex3]R[/tex3]

o raio do cone maior e r, do cone da figura 2. Assim,
[tex3]V_1=\frac{πR^2H}3,V_2=\frac{πr^2h}3V_3=\frac{πr^2(H-h)}3,V_4=\frac{πR^2(H-h)}3[/tex3]

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[tex3]V_1=\frac{πR^2H}3,V_2=\frac{πr^2h}3V_3=\frac{πr^2(H-h)}3,V_4=\frac{πR^2(H-h)}3[/tex3]

Assim, nós temos que, após substiuir os valores dos volumes e fazer umas simplificações,
[tex3]V_1=V_2+V_3+V_4\iff R^2H=R^2H+r^2H-r^2h\tag*{}\iff H=h\text{ (o que é falso!)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]V_1=V_2+V_3+V_4\iff R^2H=R^2H+r^2H-r^2h\tag*{}\iff H=h\text{ (o que é falso!)}[/tex3]

[leticia21]

Não consegui chegar ao resultado correto da letra A, alguém pode ajudar?

[Gabrielamed]

Também gostaria de saber como chegar na resposta....

[petras]

Gabrielamed,
R = raio do cone da figura 1
r = raio do cone da figura 2
h = altura do cone da figura1
h1 = altura do cone da figura 2
h2 = altura do cone da figura 3.



[tex3]V_4=\frac{1}{3}\pi R^2.h_2\\ V_3 =\frac{1}{3}\pi r^2.h_2\\ V_4=4V_3 \implies \frac{1}{3}\pi R^2.h_2= 4\frac{1}{3}\pi r^2.h_2 \implies R = 2r\\ V_2=\frac{1}{3} \pi r^2.h_1=\frac{1}{3}\pi\frac{R^2}{4}.h_1 \implies R^2=\frac{12V_2}{\pi h_1}\\ V_1= \frac{1}{3} \pi.R^2.h=\frac{1}{3}\pi.\frac{12V_2}{\pi h_1}.h=\frac{4V_2h}{h_1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]V_4=\frac{1}{3}\pi R^2.h_2\\ V_3 =\frac{1}{3}\pi r^2.h_2\\ V_4=4V_3 \implies \frac{1}{3}\pi R^2.h_2= 4\frac{1}{3}\pi r^2.h_2 \implies R = 2r\\ V_2=\frac{1}{3} \pi r^2.h_1=\frac{1}{3}\pi\frac{R^2}{4}.h_1 \implies R^2=\frac{12V_2}{\pi h_1}\\ V_1= \frac{1}{3} \pi.R^2.h=\frac{1}{3}\pi.\frac{12V_2}{\pi h_1}.h=\frac{4V_2h}{h_1}[/tex3]

[tex3] V_1= \frac{1}{3} \pi.R^2.h=\frac{1}{3}\pi.\frac{12V_2}{\pi h_1}.h=\frac{4V_2h}{h_1}(I)\\
V_1=8V_2\implies \pi R^2 h = 8\pi r^2 h_1\\
R=2r \implies \pi .4r.h = 8\pi r^2h \therefore \frac{h}{h_1}=2 \\
De(I): V_1 = 4.V_2.2 = 8V_2 ~c.q.d. [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3] V_1= \frac{1}{3} \pi.R^2.h=\frac{1}{3}\pi.\frac{12V_2}{\pi h_1}.h=\frac{4V_2h}{h_1}(I)\\
V_1=8V_2\implies \pi R^2 h = 8\pi r^2 h_1\\
R=2r \implies \pi .4r.h = 8\pi r^2h \therefore \frac{h}{h_1}=2 \\
De(I): V_1 = 4.V_2.2 = 8V_2 ~c.q.d. [/tex3]