Pré-Vestibular ⇒ (Poliedro) Funções circulares Tópico resolvido

[anastacialina]

Oi, gente linda? Sup? Poderiam me dizer o que estou errando? Ou se eu não estiver errando, poderia comentar algo? Olhem a questão primeiro, okay? Ah... eu testei no WolframAlpha e meu resultado é válido: https://www.wolframalpha.com/input/?i=c ... +%2B+2b%29

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Como eu fiz:

Sabemos:
[tex3]\cos(\alpha + \beta) = 0 \\
\cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha) \cos(\beta) - \sen(\alpha)\sen(\beta) \\
\cos(\alpha) \cos(\beta) - \sen(\alpha)\sen(\beta) = 0 \implies \boxed{{\color{blue}\cos(\alpha) \cos(\beta)} = \sen(\alpha)\sen(\beta)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cos(\alpha + \beta) = 0 \\
\cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha) \cos(\beta) - \sen(\alpha)\sen(\beta) \\
\cos(\alpha) \cos(\beta) - \sen(\alpha)\sen(\beta) = 0 \implies \boxed{{\color{blue}\cos(\alpha) \cos(\beta)} = \sen(\alpha)\sen(\beta)}[/tex3]

O requerido é isso:
[tex3]\sen(\alpha + 2 \beta) = ? \\
\sen(\alpha + 2 \beta) = \sen(\alpha) \cos(2 \beta) + \sen(2 \beta) \cos(\alpha) \\
\sen(\alpha + 2 \beta) = \sen(\alpha) [\cos^2(\beta) - \sen^2(\beta)] + 2 \sen(\beta) {\color{blue}\cos(\beta) \cos(\alpha)} \\
\sen(\alpha + 2 \beta) = \sen(\alpha) [\cos^2(\beta) - \sen^2(\beta)] + 2 \sen(\beta) {\color{blue}\sen(\alpha) \sen(\beta)} \\
\sen(\alpha + 2 \beta) = \sen(\alpha) \cdot [\sen^2(\beta) + \cos^2(\beta)] \\
\sen(\alpha + 2 \beta) = \sen(\alpha)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sen(\alpha + 2 \beta) = ? \\
\sen(\alpha + 2 \beta) = \sen(\alpha) \cos(2 \beta) + \sen(2 \beta) \cos(\alpha) \\
\sen(\alpha + 2 \beta) = \sen(\alpha) [\cos^2(\beta) - \sen^2(\beta)] + 2 \sen(\beta) {\color{blue}\cos(\beta) \cos(\alpha)} \\
\sen(\alpha + 2 \beta) = \sen(\alpha) [\cos^2(\beta) - \sen^2(\beta)] + 2 \sen(\beta) {\color{blue}\sen(\alpha) \sen(\beta)} \\
\sen(\alpha + 2 \beta) = \sen(\alpha) \cdot [\sen^2(\beta) + \cos^2(\beta)] \\
\sen(\alpha + 2 \beta) = \sen(\alpha)[/tex3]

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Poliedro — Se cos(a + b) = 0, então sen(a + 2b) pode ser igual a:
(a) sen a * cos b
(b) cos b
(c) cos a
(d) sen b
(e) sen a

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Resposta

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b

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tags: alfa beta

[FelipeMartin]

o melhor jeito é não usar abrir com a fórmula da soma é saber que [tex3]\cos (x) = 0 \iff x = k \cdot \frac{\pi}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cos (x) = 0 \iff x = k \cdot \frac{\pi}{2}[/tex3]

para algum [tex3]k \in \mathbb Z[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]k \in \mathbb Z[/tex3]

.

então [tex3]a+b= k \frac \pi 2 \implies a = k \frac \pi2 - b[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a+b= k \frac \pi 2 \implies a = k \frac \pi2 - b[/tex3]

então [tex3]a+2b = k \frac \pi2 + b[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a+2b = k \frac \pi2 + b[/tex3]

de onde:
[tex3]\sen (a+2b) = \sen ( k \frac \pi2 + b) = \sen (k \frac{\pi}2) \cos b + \cos (k \frac{\pi}2) \sen b[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sen (a+2b) = \sen ( k \frac \pi2 + b) = \sen (k \frac{\pi}2) \cos b + \cos (k \frac{\pi}2) \sen b[/tex3]

como [tex3]\cos (k\frac \pi2) = 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cos (k\frac \pi2) = 0[/tex3]

então [tex3]\sen(a+2b) = \sen (k \frac{\pi}2) \cos b = \pm \cos b[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sen(a+2b) = \sen (k \frac{\pi}2) \cos b = \pm \cos b[/tex3]

pode ser a letra b dependendo da paridade de [tex3]k[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]k[/tex3]

[FelipeMartin]

agora que eu vi, o que você fez está correto também.

[tex3]\cos (b) = \pm \sen (a)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cos (b) = \pm \sen (a)[/tex3]

a questão está mal feita, as duas são válidas.

[anastacialina]

Ah... que satisfação. Ainda bem que a minha não está errada. Ufa! LOL. Obrigado FelipeMartin.