Pré-Vestibular(Poliedro) Funções Circulares Tópico resolvido

Poste aqui problemas de Vestibulares. Informe a fonte, o ano e o assunto. Exemplo: (FUVEST - 2008) Logaritmos.

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anastacialina
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(Poliedro) Funções Circulares

Mensagem não lida por anastacialina »

Oi, gente. Alguém conheceria algum método de resolver a letra "d" sem ter que usar (a + b)^5, ou que seja pelo menos diferente do meu (mais abaixo). Primeiro: minha amiga me disse que tem um jeito de "prever" os coeficientes que acompanham os "a"s e os "b"s através do Binômio de Newton. Mas eu não estudei isso ainda, apenas fui atrás do resultado final de (a + b)^5. Até aí tudo bem. É meio grande? É... mas saiu.

Eu fiz assim: sen x + cos x = M. Após isso achei o [tex3]\mathrm{sen~x \cdot cos~x}[/tex3] . Então fiz uma equação quadrática para descobrir quem seria o "sen x" e o "cos x". Afinal, eu sei a soma e o produto. Descobri! Depois eu elevei esse termos a quinta potência (cada um) e somei tudo. Ficou meio feio, mas de antemão vi que dava pra "cancelar" umas coisas; diminuiu muita conta. Mas será que tem outro jeito? Tipo... você nem precisa "resolver" de fato, se souber alguma outra forma pode apenas me dar alguma dica. Seria super válido também. Não gostaria de usar essa tal binômio de Newton por duas razões; primeira, eu não sei ainda, não cheguei a estudar isso. Segunda... pera acho que não tem segunda não. Mas não vou apagar, já escrevi mesmo. Ah... até que dá pra fazer (a + b)^5 sem usar o binômio, mas convenhamos que não é nada bonito.
Poliedro — Sabendo-se que sen x + cos x = M, calcule o valor das expressões a seguir.
a) senx*cosx
b) sen³ x + cos³ x
c) sen^4x + cos^4x
d) sen^5 + cos^5 x
Resposta

a) (M² – 1)/2
b) (3M – M³)/2
c) (–M^4 + 2M² + 1)/2
d) (5M – M^5)/4



Trabalhar e estudar pro ITA não rola! :( Mas vou continuar a estudar, simplesmente estudar, talvez não pro ITA. Em qualquer caso não jogarei fora essas horas de estudo. Damn it!

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A13235378
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Jul 2020 15 17:46

Re: (Poliedro) Funções Circulares

Mensagem não lida por A13235378 »

Ola,

nao sei se vai ajudar , mas voce pode usar a relacao :

a^5 + b^5 = (a+b)(a^4 - a^3 b + a^2 b^2 - a b^3 + b^4)

a^4 + b^4 voce ja tem a relacao devido ao item c

a^2 b^2 = (ab)^2

-a^3 b - a b^3 = - (ab) ( a^2 + b^2)

Nao sei se vai ajudar nas contas , mas só veio isso a minha cabeça.



"O que sabemos é uma gota , o que ignoramos é um oceano." Isaac Newton

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anastacialina
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Jul 2020 16 21:19

Re: (Poliedro) Funções Circulares

Mensagem não lida por anastacialina »

É... não foi muito significativo o uso da relação não. Mas muito obrigado de qualquer jeito. De toda forma é mais uma relação pro bolso.


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AnthonyC
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Jul 2020 17 03:04

Re: (Poliedro) Funções Circulares

Mensagem não lida por AnthonyC »

Dado que você já descobriu o produto e a soma dos cubos, vamos usar isso. Como [tex3]\sen^2(x)+\cos^2(x)=1[/tex3] , podemos multiplicar o lado esquerdo da equação da soma dos cubos sem alterar o resultado:
[tex3]\sen^3(x)+\cos^3(x)={3M-M^3\over2}[/tex3]
[tex3][{\color{blue}{\sen^3(x)}+\cos^3(x)}][{\color{red}\sen^2(x)+\cos^2(x)}]={3M-M^3\over2}[/tex3]
[tex3]{\color{blue}\sen^3(x)}{\color{red}\sen^2(x)}
+{\color{blue}\sen^3(x)}{\color{red}\cos^2(x)}
+{\color{red}\sen^2(x)}
{\color{blue}\cos^3(x)}+{\color{blue}\cos^3(x)}{\color{red}\cos^2(x)}
={3M-M^3\over2}[/tex3]
[tex3]{\color{purple}\sen^5(x)}+{\color{blue}\sen(x)\sen^2(x)}{\color{red}\cos^2(x)}+{\color{red}\sen^2(x)} {\color{blue}\cos^2(x)\cos(x)} + {\color{purple}\cos^5(x)}={3M-M^3\over2}[/tex3]
[tex3]{\color{purple}\sen^5(x)}+{\color{blue}\sen(x)}[{\color{green}\sen^2(x)\cos^2(x)}]+[{\color{green}\sen^2(x)\cos^2(x)}]{\color{blue}\cos(x)} + {\color{purple}\cos^5(x)}={3M-M^3\over2}[/tex3]
[tex3]{\color{purple}\sen^5(x)}+ {\color{purple}\cos^5(x)}+[{\color{blue}\sen(x)}+{\color{blue}\cos(x)}][{\color{green}\sen^2(x)\cos^2(x)}] ={3M-M^3\over2}[/tex3]
[tex3]{\color{purple}\sen^5(x)}+ {\color{purple}\cos^5(x)}+{\color{blue}M}[{\color{green}\sen(x)\cos(x)}]^2 ={3M-M^3\over2}[/tex3]
[tex3]{\color{purple}\sen^5(x)}+ {\color{purple}\cos^5(x)}+{\color{blue}M}\left[{\color{green}{M^2-1\over2}}\right]^2 ={3M-M^3\over2}[/tex3]
[tex3]{\color{purple}\sen^5(x)}+ {\color{purple}\cos^5(x)}+{\color{blue}M}\left[{\color{green}{M^4-2M^2+1\over4}}\right] ={3M-M^3\over2}[/tex3]
[tex3]{\color{purple}\sen^5(x)}+ {\color{purple}\cos^5(x)}+{{M^5-2M^3+M\over4}}={3M-M^3\over2}[/tex3]
[tex3]{\color{purple}\sen^5(x)}+ {\color{purple}\cos^5(x)}={3M-M^3\over2}-\left[{{M^5-2M^3+M\over4}}\right][/tex3]
[tex3]{\color{purple}\sen^5(x)}+ {\color{purple}\cos^5(x)}={6M-2M^3-M^5+2M^3-M\over4}[/tex3]
[tex3]\sen^5(x)+\cos^5(x)={5M-M^5\over4}[/tex3]


Obs: não se sei você usa o "Dark Mode" do fórum, mas eu uso, então talvez algumas cores fiquem mais visíveis pra mim do que pra não-usuários. Caso tenha alguma assim, avise.


[tex3]\color{YellowOrange}\textbf{Não importa o quanto se esforce ou evolua, você sempre estará abaixo do Sol}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]

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anastacialina
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Re: (Poliedro) Funções Circulares

Mensagem não lida por anastacialina »

Meu deus, que delícia de resposta. Meu herói não usa capa, ele gosta de dragão e responde questões em um fórum. Que colorido! Isso facilita muito o acompanhamento da resposta, sério tá muito lindo e didático. Mas eu sei que isso toma muito tempo. Em possíveis próximas vezes pode pular alguns passos internos. Eu me viro. Por favor, não estou reclamando, apenas quero dizer que isso toma muito seu tempo, coisa que não é meu intuito. Entendi perfeitamente! Obrigado!

Sobre o "Dark Mode", eu também o utilizo e "migrei" por um prazinho pra conferir as cores e não vi nada anormal. Gosto tanto de "dark mode" que uso em praticamente todos os sites. *extensãozinha pra Chrome* LOL.


Trabalhar e estudar pro ITA não rola! :( Mas vou continuar a estudar, simplesmente estudar, talvez não pro ITA. Em qualquer caso não jogarei fora essas horas de estudo. Damn it!

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ASPIRADEDEU
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Re: (Poliedro) Funções Circulares

Mensagem não lida por ASPIRADEDEU »

anastacialina escreveu:
Sex 17 Jul, 2020 09:45
Meu herói não usa capa, ele gosta de dragão e responde questões em um fórum.
kkkkkkkkkkkkkkkkkkk


“Não passamos de minhocas. Mas acredito ser uma minhoca que brilha.”
Sir Winston Churchill

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AnthonyC
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Re: (Poliedro) Funções Circulares

Mensagem não lida por AnthonyC »

anastacialina escreveu:
Sex 17 Jul, 2020 09:45
Meu herói não usa capa, ele gosta de dragão e responde questões em um fórum.
Hehe, obrigado pela consideração querida. Você é um amor.
anastacialina escreveu:
Sex 17 Jul, 2020 09:45
Isso facilita muito o acompanhamento da resposta
Fico feliz, era exatamente esse o objetivo. Errar uma resolução por se perder com muitos termos é bem triste, e atrapalha bastante.
anastacialina escreveu:
Sex 17 Jul, 2020 09:45
Mas eu sei que isso toma muito tempo.
Na verdade, depois que eu descobri o truque da grande Babi123, ficou bem fácil fazer isso, princialmente inserir cores diferente.
[tex3]{\color{purple}\sum}+ {\color{red}\sum}+{\color{blue}\sum}+{\color{green}\sum} +{\color{yellow}\sum} +{\color{cyan}\sum} +{\color{orange}\sum} +{\color{lightblue}\sum} +{\color{gray}\sum} +{\color{darkred}\sum} +{\color{darkgreen}\sum} +{\color{magenta}\sum} +{\color{pink}\sum} +{\color{lightgreen}\sum} +{\color{BrickRed}\sum} +{\color{MidnightBlue}\sum} +{\color{RedViolet}\sum} [/tex3]
Vou deixar um linkzinho pra você dar uma olhada:
https://en.wikibooks.org/wiki/LaTeX/Colors


[tex3]\color{YellowOrange}\textbf{Não importa o quanto se esforce ou evolua, você sempre estará abaixo do Sol}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]

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Babi123
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Re: (Poliedro) Funções Circulares

Mensagem não lida por Babi123 »

:):):lol::lol:



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snooplammer
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Re: (Poliedro) Funções Circulares

Mensagem não lida por snooplammer »

Vou deixar minha meia dúzia de contribuição

[tex3](a+b)^3= \dots[/tex3]

[tex3]T_1 =a^3 [/tex3]
[tex3]T_2 = \int\frac{\mathrm{d\(T_1\)}}{\mathrm{d}a} \mathrm{d}b =\int\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a} a^3 \, \mathrm{d}b = 3a^2b[/tex3]

Recursivamente, [tex3]T_n = \int\frac{\mathrm{d\(T_{n-1}\)}}{\mathrm{d}a} \mathrm{d}b[/tex3] , daí


[tex3]T_3 = \int\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a}3a^2b \, \mathrm{d}b = 3ab^2[/tex3]

De mesmo modo, [tex3]T_4 = b^3[/tex3] .

Daí, [tex3](a+b)^3 = T_1+T_2+T_3 + T_4[/tex3] . Sempre que tem [tex3](a+b)^n[/tex3] o último termo será o [tex3]T_{n+1}[/tex3] .

[tex3](a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \hspace{5mm}\blacklozenge [/tex3]

A ideia é análoga para qualquer [tex3]n \in \mathbb{N} [/tex3] .



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Babi123
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Jul 2020 17 22:12

Re: (Poliedro) Funções Circulares

Mensagem não lida por Babi123 »

[tex3]T_2=\int\frac{\text{d(T}_1)}{\text{d}a}\text{d}b[/tex3]

Não entendi oq essa integral quer dizer... :?:




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