Pré-Vestibular ⇒ (Poliedro) Triângulo retângulo — Trigonometria — Funções circulares Tópico resolvido

[anastacialina]

Oi, gente. Poderiam me ajudar nessa questão aqui? No início achei que seria bem easy, mas virou um trambolho no final e não consegui desenvolver nada. Affs. Já tô frustrada.

---

Poliedro — Determinar a hipotenusa de um triângulo retângulo se os catetos são: b = 2(1 + sen x) + cos x e c = 2(1 + cos x) + sen x.

Resposta

---

3 + 2(sen x + cos x)

[Deleted User 24633]

Seja [tex3]a[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a[/tex3]

a hipotenusa. Por Pitágoras vem [tex3]a^2=b^2+c^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^2=b^2+c^2[/tex3]

.
Lembrando do produto notável [tex3](x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz[/tex3]

.
Assim

[tex3]a^2=(2+2~sen~x+cos~x)^2+(2+2~cos~x+sen~x)^2=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^2=(2+2~sen~x+cos~x)^2+(2+2~cos~x+sen~x)^2=[/tex3]

[tex3](4+4~sen^2~x+cos^2~x+8~sen~x+4~cos~x+4~sen~x~cos~x)+(4+4~cos^2~x+sen^2~x+8~cos~x+4~sen~x+4~cos~x~sen~x)=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](4+4~sen^2~x+cos^2~x+8~sen~x+4~cos~x+4~sen~x~cos~x)+(4+4~cos^2~x+sen^2~x+8~cos~x+4~sen~x+4~cos~x~sen~x)=[/tex3]

[tex3]8+5(sen^2~x+cos^2~x)+12(sen~x+cos~x)+8~sen~x~cos~x=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]8+5(sen^2~x+cos^2~x)+12(sen~x+cos~x)+8~sen~x~cos~x=[/tex3]

[tex3]13+12(sen~x+cos~x)+8~sen~x~cos~x=9+4+12(sen~x+cos~x)+8~sen~x~cos~x=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]13+12(sen~x+cos~x)+8~sen~x~cos~x=9+4+12(sen~x+cos~x)+8~sen~x~cos~x=[/tex3]

[tex3]9+4(1+2sen~x~cos~x)+12~sen~x~cos~x=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]9+4(1+2sen~x~cos~x)+12~sen~x~cos~x=[/tex3]

[tex3]3^2+4(sen^2~x+2~sen~x~cos~x+cos^2~x)+12~sen~x~cos~x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]3^2+4(sen^2~x+2~sen~x~cos~x+cos^2~x)+12~sen~x~cos~x[/tex3]

[tex3]3^2+[2(sen~x+cos~x)]^2+2\cdot 3\cdot 2=[2(sen~x+cos~x)+3]^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]3^2+[2(sen~x+cos~x)]^2+2\cdot 3\cdot 2=[2(sen~x+cos~x)+3]^2[/tex3]

Portanto [tex3]a=3+2(sen~x+cos~x)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a=3+2(sen~x+cos~x)[/tex3]

[AnthonyC]

[tex3]b^2=[2+2\sen(x)+\cos(x)]^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]b^2=[2+2\sen(x)+\cos(x)]^2[/tex3]

[tex3]b^2=4+4\sen^2(x)+\cos^2(x)+8\sen(x)+4\cos(x)+4\sen(x)\cos(x)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]b^2=4+4\sen^2(x)+\cos^2(x)+8\sen(x)+4\cos(x)+4\sen(x)\cos(x)[/tex3]

[tex3]c^2=[2+2\cos(x)+\sen(x)]^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]c^2=[2+2\cos(x)+\sen(x)]^2[/tex3]

[tex3]c^2=4+4\cos^2(x)+\sen^2(x)+8\cos(x)+4\sen(x)+4\sen(x)\cos(x)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]c^2=4+4\cos^2(x)+\sen^2(x)+8\cos(x)+4\sen(x)+4\sen(x)\cos(x)[/tex3]

Usando Pitágoras:
[tex3]a^2=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^2=[/tex3]

[tex3]b^2[/tex3]+[tex3]c^2[/tex3]
[tex3]a^2=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^2=[/tex3]

[tex3]4+4\sen^2(x)+\cos^2(x)+8\sen(x)+4\cos(x)+4\sen(x)\cos(x)[/tex3]+[tex3]4+4\cos^2(x)+\sen^2(x)+8\cos(x)+4\sen(x)+4\sen(x)\cos(x)[/tex3]
[tex3]a^2=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^2=[/tex3]

[tex3]4[/tex3][tex3]+[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]+[/tex3]

[tex3]4[/tex3][tex3]+[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]+[/tex3]

[tex3]4\sen^2(x)[/tex3][tex3]+[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]+[/tex3]

[tex3]4\cos^2(x)[/tex3][tex3]+[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]+[/tex3]

[tex3]\cos^2(x)[/tex3][tex3]+[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]+[/tex3]

[tex3]\sen^2(x)[/tex3][tex3]+[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]+[/tex3]

[tex3]8\sen(x)[/tex3][tex3]+[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]+[/tex3]

[tex3]4\sen(x)[/tex3][tex3]+[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]+[/tex3]

[tex3]4\cos(x)[/tex3][tex3]+[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]+[/tex3]

[tex3]8\cos(x)[/tex3][tex3]+[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]+[/tex3]

[tex3]4\sen(x)\cos(x)[/tex3][tex3]+[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]+[/tex3]

[tex3]4\sen(x)\cos(x)[/tex3]
[tex3]a^2=8+4\sen^2(x)+4\cos^2(x)+1+12(\sen(x)+\cos(x))+8\sen(x)\cos(x)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^2=8+4\sen^2(x)+4\cos^2(x)+1+12(\sen(x)+\cos(x))+8\sen(x)\cos(x)[/tex3]

[tex3]a^2=8+1+12(\sen(x)+\cos(x))+4\sen^2(x)+4\cos^2(x)+8\sen(x)\cos(x)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^2=8+1+12(\sen(x)+\cos(x))+4\sen^2(x)+4\cos^2(x)+8\sen(x)\cos(x)[/tex3]

[tex3]a^2=9+12(\sen(x)+\cos(x))+4(\sen^2(x)+2\sen(x)\cos(x)+\cos^2(x))[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^2=9+12(\sen(x)+\cos(x))+4(\sen^2(x)+2\sen(x)\cos(x)+\cos^2(x))[/tex3]

[tex3]a^2=9+12(\sen(x)+\cos(x))+4(\sen(x)+\cos(x))^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^2=9+12(\sen(x)+\cos(x))+4(\sen(x)+\cos(x))^2[/tex3]

[tex3]a^2=3^2+2\cdot3\cdot2(\sen(x)+\cos(x))+[2(\sen(x)+\cos(x))]^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^2=3^2+2\cdot3\cdot2(\sen(x)+\cos(x))+[2(\sen(x)+\cos(x))]^2[/tex3]

[tex3]a^2=[3+2(\sen(x)+\cos(x))]^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^2=[3+2(\sen(x)+\cos(x))]^2[/tex3]

[tex3]a=3+2(\sen(x)+\cos(x))[/tex3]

[anastacialina]

pedro1729, AnthonyC. Damn it! Que tanto de termos! Muito obrigado aos dois, sério mesmo.

pedro1729, obrigado por me fazer conhecer aquele produto notável. Eu não o conhecia, e você disse "lembrando". LOL. Mas já tá guardado na gaveta. Bem, na vez que eu tentei eu usei só o (a + b)². E fiz ele de novo.

AnthonyC, além de suas respostas serem muito didáticas são também muito bonitinhas. Com essas cores todas! Eu não sei se é meu browser, mas eu tentei ver como você colore as fórmulas e não é mostrado. Poderia me dizer?

Ah... eu tava errando besteira. Sabe aquele negócio chamado somar? Então... era isso *sad face*. Mas sem a ajuda de vocês eu iria demorar um tempão pra perceber isso. Afinal eu teria que "deixá-la na gaveta" e depois voltar lá para ver se descobria meu erro. Às vezes funciona. Que raiva! Errar uma questão porque eu não sei é válido, mas errar matemática básica. Aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaah!

E pra finalizar. Como é de praxe eu costumo "eleger" a primeira resposta. Meramente por fatores cronológicos, dada que ambas me ajudaram. No hard feelings, né? Muito obrigada pessoas.

[Babi123]

anastacialina, o código para colorir é:
\color{red}{matemática}[tex3]\implies\color{red}{matemática} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\implies\color{red}{matemática} [/tex3]

;

\color{green}{matemática} [tex3]\implies[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\implies[/tex3]

[tex3]\color{green}{matemática} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\color{green}{matemática} [/tex3]

;

\color{yellow}{matemática} [tex3]\implies[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\implies[/tex3]

[tex3]\color{yellow}{matemática}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\color{yellow}{matemática}[/tex3]

;

\color{blue}{matemática} [tex3]\implies \color{blue}{matemática}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\implies \color{blue}{matemática}[/tex3]

, ...

Entendeu né?!


OBS.: Nos exemplos utilizei a palavra matemática, no caso vc usa a q lhe interessar destacar. Só estou fazendo essa ressalva pois pode deixar a entender que "matemática" faz parte do código e não faz!

[AnthonyC]

Poderia me dizer?

anastacialina, aqui em cima tem um "A" com uma barra embaixo:

Cores.png (15.94 KiB) Exibido 1897 vezes

Quando você clica nele aparece um monte de cores. Ao clicar numa cor vai aparecer [color=#00FFFF] [/color]. Digita o que você quiser entre os colchetes e daí é só deixar a mágica acontecer.

Obs, pra fazer uma fórmula colorida você deve primeiro colocar [color=#FF0000][/color] e dentro colocar [tex3][/tex3], se não dá errado. Se quiser colorir termos diferentes, tem que fazer uma fórmula pra cada um.

Ex:
[color=#FF0000][tex3]a[/tex3][/color][tex3]^2=[/tex3][color=#000080][tex3]b[/tex3][/color][tex3]^2+[/tex3][color=#FFBF00][tex3]c[/tex3][/color][tex3]^2[/tex3]
[tex3]a[/tex3][tex3]^2=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]^2=[/tex3]

[tex3]b[/tex3][tex3]^2+[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]^2+[/tex3]

[tex3]c[/tex3][tex3]^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]^2[/tex3]

[AnthonyC]

\color{red}{matemática} ;

Babi123, Jesus, esse jeito eu não conhecia, e é bem fácil.

[anastacialina]

AnthonyC, LOL. É bem mais fácil mesmo. Obrigado por me mostrar outro jeito, mas me desculpe: se estivermos falando de cores simples, eu acho que vou usar o modo Babi123. Obrigado, gente.

[AnthonyC]

se estivermos falando de cores simples, eu acho que vou usar o modo Babi123.

anastacialina, eu também.