Pré-Vestibular ⇒ (Poliedro) Funções Circulares — Trigonometria Tópico resolvido

[anastacialina]

Oi, gente. Eu já quebrei a cabeça nessa questão e só vou até um local e paro lá. Alguém poderia me ajudar? Vai ver que deve ser algo bobo. LOL.

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Poliedro — Sendo [tex3]\mathrm{a \cdot sen(x) = b \cdot cos(x) = \frac{2ctg(x)}{1 - tg^2(x)}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathrm{a \cdot sen(x) = b \cdot cos(x) = \frac{2ctg(x)}{1 - tg^2(x)}}[/tex3]

, mostrar que (a² - b²) = 4c² (a² + b²).

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Escrita alternativa: a.sen x = b.cos x = (2ctg x)/(1 - tg²x)

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Olha só o que eu fiz, vai que ganha tempo pra você:
[tex3]\mathrm{ a \cdot sen(x) = b \cdot cos(x) = \frac{2 \cdot c \cdot tg(x)}{1 - tg^2(x)} \\
\frac{2 \cdot c \cdot \frac{sen(x)}{cos(x)}}{1 - \frac{sen^2(x)}{cos^2{x}}} = \frac{\frac{2 \cdot c \cdot sen(x)}{cos(x)}}{\frac{cos^2x - sen^2(x)}{cos^2(x)}}
= \frac{2 \cdot c \cdot sen(x)}{\frac{cos^2x - sen^2(x)}{cos(x)}} = \frac{2 \cdot c \cdot sen(x) \cdot cos(x)}{cos^2x - sen^2(x)} = \frac{2 \cdot c \cdot sen(x) \cdot cos(x)}{[cosx + sen(x)] \cdot [cos(x) - sen(x)]} }[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathrm{ a \cdot sen(x) = b \cdot cos(x) = \frac{2 \cdot c \cdot tg(x)}{1 - tg^2(x)} \\
\frac{2 \cdot c \cdot \frac{sen(x)}{cos(x)}}{1 - \frac{sen^2(x)}{cos^2{x}}} = \frac{\frac{2 \cdot c \cdot sen(x)}{cos(x)}}{\frac{cos^2x - sen^2(x)}{cos^2(x)}}
= \frac{2 \cdot c \cdot sen(x)}{\frac{cos^2x - sen^2(x)}{cos(x)}} = \frac{2 \cdot c \cdot sen(x) \cdot cos(x)}{cos^2x - sen^2(x)} = \frac{2 \cdot c \cdot sen(x) \cdot cos(x)}{[cosx + sen(x)] \cdot [cos(x) - sen(x)]} }[/tex3]

Voltando para o que foi dado no início, temos:
[tex3]\mathrm{ a \cdot sen(x) = b \cdot cos(x) = \frac{2 \cdot c \cdot sen(x) \cdot cos(x)}{[cosx + sen(x)] \cdot [cos(x) - sen(x)]} }[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathrm{ a \cdot sen(x) = b \cdot cos(x) = \frac{2 \cdot c \cdot sen(x) \cdot cos(x)}{[cosx + sen(x)] \cdot [cos(x) - sen(x)]} }[/tex3]

Morri aqui.

[FelipeMartin]

só pra lembrar:
[tex3]\tg(a+b) = \frac{\tg a + \tg b}{1 - \tg a \tg b}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\tg(a+b) = \frac{\tg a + \tg b}{1 - \tg a \tg b}[/tex3]

então
[tex3]\tg (2a) = \frac{2\tg a}{1 - tg^2 a}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\tg (2a) = \frac{2\tg a}{1 - tg^2 a}[/tex3]

é bom lembrar também que [tex3]\sen (2x) = 2 \sen x \cos x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sen (2x) = 2 \sen x \cos x[/tex3]

e [tex3]\cos (2x) = \cos^2x -\sen^2x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cos (2x) = \cos^2x -\sen^2x[/tex3]

o melhor jeito é fazendo isso aqui:
[tex3]a \sen x = b \cos x \iff \frac{\sen x}{ \cos x} = \frac ba = \tg x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a \sen x = b \cos x \iff \frac{\sen x}{ \cos x} = \frac ba = \tg x[/tex3]

e jogar na expressão do [tex3]c[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]c[/tex3]

:
[tex3]a \sen x = c \cdot 2 \cdot \frac ba \cdot \frac1{1- (\frac ba)^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a \sen x = c \cdot 2 \cdot \frac ba \cdot \frac1{1- (\frac ba)^2}[/tex3]

de onde:
[tex3]\sen x = \frac{2cb}{a^2-b^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sen x = \frac{2cb}{a^2-b^2}[/tex3]

, [tex3]\tg x = \frac ba[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\tg x = \frac ba[/tex3]

pra completar basta substituir isso na fórmula: [tex3]1 + \frac{1}{\tg^2x} = \frac1{\sen^2x}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]1 + \frac{1}{\tg^2x} = \frac1{\sen^2x}[/tex3]

vou deixar você terminar.

[anastacialina]

FelipeMartin, muito obrigado. Ah... quando você diz "só pra lembrar". Bem, eu não estudei isso ainda. Apenas fiquei sabendo por uma colega que existe uma fórmula para calcular a tangente da soma. Mas os livros pelos quais estudo ainda não me apresentaram isso ainda. Por isso eu fiz aquele monstrinho, mas é muito mais simples se eu soubesse disso. Obrigado!