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Resposta
8 cm²
Pré-Vestibular ⇒ (INSPER) Áreas de Triângulos Tópico resolvido
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Jul 2020
11
13:23
(INSPER) Áreas de Triângulos
(INSPER) No triângulo ABC da figura, M é ponto médio de [tex3]\overline{AB}[/tex3]
e P e Q são pontos dos lados [tex3]\overline{BC}[/tex3]
e [tex3]\overline{AC}[/tex3]
, respectivamente, tais que [tex3]\overline{BP} = \overline{AQ}[/tex3]
= a e [tex3]\overline{PC} = \overline{QC}[/tex3]
= 4a.
Os segmentos [tex3]\overline{AP}, \overline{BQ}[/tex3] e [tex3]\overline{CM}[/tex3] interceptam-se no ponto O e a área do triângulo BOM é 5 cm². Dessa forma, a área do triângulo BOP, assinalado na figura, é igual a
8 cm²
Os segmentos [tex3]\overline{AP}, \overline{BQ}[/tex3] e [tex3]\overline{CM}[/tex3] interceptam-se no ponto O e a área do triângulo BOM é 5 cm². Dessa forma, a área do triângulo BOP, assinalado na figura, é igual a
8 cm²
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Jul 2020
11
14:07
Re: (INSPER) Áreas de Triângulos
Trace [tex3]PQ[/tex3]
Observe que os triângulos [tex3]\triangle PQC[/tex3]
e [tex3]\triangle ABC[/tex3]
são semelhantes de razão entre os lados [tex3]\dfrac{4}{5}[/tex3]
e portanto a razão entre suas áreas é [tex3]\dfrac{16}{25}[/tex3]
logo a razão entre as áreas de [tex3]ABPQ[/tex3]
e [tex3]ABC[/tex3]
é de [tex3]1-\dfrac{16}{25}=\dfrac{9}{25}[/tex3]
.
Agora note que como [tex3]ABC[/tex3] é isósceles de base [tex3]AB[/tex3] o segmento [tex3]AM[/tex3] além de mediana é mediatriz. Isso implica muitas coisas
Assim temos que [tex3][ABPQ]=[AOB]+[AOQ]+[BOP]+[POQ]=10+S+S+\dfrac{32}{5}=2S+\dfrac{82}{5}[/tex3] .
Observe que os triângulos [tex3]OBP[/tex3] e [tex3]OPC[/tex3] possuem mesma altura e portanto [tex3][OPC]=4\cdot [OBP]=4S[/tex3] analogamente [tex3][OQC]=4S[/tex3] consequentemente [tex3][ABC]=[AOB]+[BOP]+[AOQ]+[OPC]+[OQC]=10+S+4S+S+4S=10S+10[/tex3]
Como a área de [tex3]ABPQ[/tex3] é [tex3]\dfrac{9}{25}[/tex3] da área de [tex3]ABC[/tex3] temos [tex3]2S+\dfrac{82}{5}=\dfrac{9}{25}\cdot (10S+10)[/tex3] logo [tex3]50S+410=90S+90[/tex3] ou seja [tex3]40~S=320[/tex3] e portanto [tex3]S=8~cm^2[/tex3] .
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Agora note que como [tex3]ABC[/tex3] é isósceles de base [tex3]AB[/tex3] o segmento [tex3]AM[/tex3] além de mediana é mediatriz. Isso implica muitas coisas
- A área do triângulo [tex3]AOB[/tex3] é o dobro de [tex3]BOM[/tex3] ou seja [tex3]2\cdot 5=10~cm^2[/tex3]
- Os triângulos [tex3]OBP[/tex3] e [tex3]OAQ[/tex3] são congruentes
- Os triângulos [tex3]AOB[/tex3] e [tex3]POQ[/tex3] são semelhantes de razão entre os lados [tex3]\dfrac{PQ}{AB}=\dfrac{4}{5}[/tex3] (da semelhança dos triângulos [tex3]PQC[/tex3] e [tex3]ABC[/tex3] )
Assim temos que [tex3][ABPQ]=[AOB]+[AOQ]+[BOP]+[POQ]=10+S+S+\dfrac{32}{5}=2S+\dfrac{82}{5}[/tex3] .
Observe que os triângulos [tex3]OBP[/tex3] e [tex3]OPC[/tex3] possuem mesma altura e portanto [tex3][OPC]=4\cdot [OBP]=4S[/tex3] analogamente [tex3][OQC]=4S[/tex3] consequentemente [tex3][ABC]=[AOB]+[BOP]+[AOQ]+[OPC]+[OQC]=10+S+4S+S+4S=10S+10[/tex3]
Como a área de [tex3]ABPQ[/tex3] é [tex3]\dfrac{9}{25}[/tex3] da área de [tex3]ABC[/tex3] temos [tex3]2S+\dfrac{82}{5}=\dfrac{9}{25}\cdot (10S+10)[/tex3] logo [tex3]50S+410=90S+90[/tex3] ou seja [tex3]40~S=320[/tex3] e portanto [tex3]S=8~cm^2[/tex3] .
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Jul 2020
11
14:33
Re: (INSPER) Áreas de Triângulos
pedro1729 escreveu: ↑Sáb 11 Jul, 2020 14:07Trace [tex3]PQ[/tex3]
INSPER -SP-2013.1-obj-q64.jpg.png
Observe que os triângulos [tex3]\triangle PQC[/tex3] e [tex3]\triangle ABC[/tex3] são semelhantes de razão entre os lados [tex3]\dfrac{4}{5}[/tex3] e portanto a razão entre suas áreas é [tex3]\dfrac{16}{25}[/tex3] logo a razão entre as áreas de [tex3]ABPQ[/tex3] e [tex3]ABC[/tex3] é de [tex3]1-\dfrac{16}{25}=\dfrac{9}{25}[/tex3] .
Agora note que como [tex3]ABC[/tex3] é isósceles de base [tex3]AB[/tex3] o segmento [tex3]AM[/tex3] além de mediana é mediatriz. Isso implica muitas coisasChamemos de [tex3]S=[OBP]=[AOQ][/tex3] . Como a razão de semelhança entre os lados dos triângulos [tex3]POQ[/tex3] e [tex3]AOB[/tex3] é [tex3]\dfrac{4}{5}[/tex3] a razão entre suas áreas é [tex3]\dfrac{16}{25}[/tex3] e portanto a área do triângulo [tex3]POQ[/tex3] é [tex3]\dfrac{16}{25}\cdot[AOB]=\dfrac{16}{25}\cdot 10=\dfrac{32}{5}[/tex3] .
- A área do triângulo [tex3]AOB[/tex3] é o dobro de [tex3]BOM[/tex3] ou seja [tex3]2\cdot 5=10~cm^2[/tex3]
- Os triângulos [tex3]OBP[/tex3] e [tex3]OAQ[/tex3] são congruentes
- Os triângulos [tex3]AOB[/tex3] e [tex3]POQ[/tex3] são semelhantes de razão entre os lados [tex3]\dfrac{PQ}{AB}=\dfrac{4}{5}[/tex3] (da semelhança dos triângulos [tex3]PQC[/tex3] e [tex3]ABC[/tex3] )
Assim temos que [tex3][ABPQ]=[AOB]+[AOQ]+[BOP]+[POQ]=10+\dfrac{32}{5}+2S=2S+\dfrac{82}{5}[/tex3] .
Observe que os triângulos [tex3]OBP[/tex3] e [tex3]OPC[/tex3] possuem mesma altura e portanto [tex3][OPC]=4S[/tex3] analogamente [tex3][OQC]=4S[/tex3] consequentemente [tex3][ABC]=10S+10[/tex3]
Como a área de [tex3]ABPQ[/tex3] é [tex3]\dfrac{9}{25}[/tex3] da área de [tex3]ABC[/tex3] temos [tex3]2S+\dfrac{82}{5}=\dfrac{9}{25}\cdot (10S+10)[/tex3] logo [tex3]50~S+410=90~S+90[/tex3] ou seja [tex3]40~S=320[/tex3] e portanto [tex3]S=8~cm^2[/tex3] .
Não entendi direito pq a razão entre as áreas de ABPQ e ABC é [tex3]1-\frac{16}{25}=\frac{9}{25}[/tex3]
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Jul 2020
11
14:41
Re: (INSPER) Áreas de Triângulos
gab1234,
Observe na figura que [tex3][ABPQ]=[ABC]-[PQC][/tex3]
dividindo membro a equação por [tex3][ABC][/tex3]
obtemos [tex3]\dfrac{[ABPQ]}{[ABC]}=1-\dfrac{[PQC]}{[ABC]}[/tex3]
, como os triângulos [tex3]PQC[/tex3]
e [tex3]ABC[/tex3]
são semelhantes de razão entre os lados [tex3]\dfrac{AC}{QC}=\dfrac{4a}{5a}=\dfrac{4}{5}[/tex3]
a razão entre suas áreas é [tex3]\left(\dfrac{4}{5} \right)^2=\dfrac{16}{25}[/tex3]
substituindo na expressão anterior...
Eu não fui muito didático pois senão estaria até agora digitando. Então se tiver qualquer outra dúvida não sinta vergonha, é só mandar que eu responderei com o maior prazer.
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Eu não fui muito didático pois senão estaria até agora digitando. Então se tiver qualquer outra dúvida não sinta vergonha, é só mandar que eu responderei com o maior prazer.
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Jul 2020
11
15:22
Re: (INSPER) Áreas de Triângulos
Não assimilei direito na parte em que a área do triangulo POQ é [tex3]\frac{16}{35} . [AOB][/tex3]pedro1729 escreveu: ↑Sáb 11 Jul, 2020 14:41gab1234,
INSPER -SP-2013.1-obj-q64.jpg.png
Observe na figura que [tex3][ABPQ]=[ABC]-[PQC][/tex3] dividindo membro a equação por [tex3][ABC][/tex3] obtemos [tex3]\dfrac{[ABPQ]}{[ABC]}=1-\dfrac{[PQC]}{[ABC]}[/tex3] , como os triângulos [tex3]PQC[/tex3] e [tex3]ABC[/tex3] são semelhantes de razão entre os lados [tex3]\dfrac{AC}{QC}=\dfrac{4a}{5a}=\dfrac{4}{5}[/tex3] a razão entre suas áreas é [tex3]\left(\dfrac{4}{5} \right)^2=\dfrac{16}{25}[/tex3] substituindo na expressão anterior...
Eu não fui muito didático pois senão estaria até agora digitando. Então se tiver qualquer outra dúvida não sinta vergonha, é só mandar que eu responderei com o maior prazer.
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11
16:38
Re: (INSPER) Áreas de Triângulos
É um fato que diz que quando dois triângulos são semelhantes e a razão entre seus lados é [tex3]r[/tex3] então a razão entre suas áreas é [tex3]r^2[/tex3] . Você pode verificar isso pela fórmula [tex3]\dfrac{base~\times~altura}{2}[/tex3] se a razão é [tex3]r[/tex3] então a base do outro triângulo vai ser multiplicada por [tex3]r[/tex3] assim como a altura que também será multiplicada por [tex3]r[/tex3] . Então ao todo, a área será multiplicada por [tex3]r\cdot r=r^2[/tex3]gab1234 escreveu: ↑Sáb 11 Jul, 2020 15:22Não assimilei direito na parte em que a área do triangulo POQ é [tex3]\frac{16}{35} . [AOB][/tex3]pedro1729 escreveu: ↑Sáb 11 Jul, 2020 14:41gab1234,
INSPER -SP-2013.1-obj-q64.jpg.png
Observe na figura que [tex3][ABPQ]=[ABC]-[PQC][/tex3] dividindo membro a equação por [tex3][ABC][/tex3] obtemos [tex3]\dfrac{[ABPQ]}{[ABC]}=1-\dfrac{[PQC]}{[ABC]}[/tex3] , como os triângulos [tex3]PQC[/tex3] e [tex3]ABC[/tex3] são semelhantes de razão entre os lados [tex3]\dfrac{AC}{QC}=\dfrac{4a}{5a}=\dfrac{4}{5}[/tex3] a razão entre suas áreas é [tex3]\left(\dfrac{4}{5} \right)^2=\dfrac{16}{25}[/tex3] substituindo na expressão anterior...
Eu não fui muito didático pois senão estaria até agora digitando. Então se tiver qualquer outra dúvida não sinta vergonha, é só mandar que eu responderei com o maior prazer.
Mais formalmente. se o primeiro triângulo tem altura [tex3]h[/tex3] e base [tex3]b[/tex3] o outro terá altura [tex3]hr[/tex3] e base [tex3]br[/tex3] . Assim, o primeiro terá área [tex3]\dfrac{bh}{2}[/tex3] enquanto o segundo terá área [tex3]\dfrac{(br)\cdot (hr)}{2}=\dfrac{bh}{2}\cdot r^2[/tex3]
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11
17:16
Re: (INSPER) Áreas de Triângulos
Oi, pedro1729 e gab1234.
Fiz um pouquinho diferente.
Chamando a área do triângulo MBO de B. Analogicamente a área do triângulo AMO será B.
Agora chamando a área do triângulo AOQ de A, a área do triângulo QOC será 4A.
Chamando a área do triângulo BOP de C, temos que a área de POC será 4C, então C+4C=5A, C=A
A área de BOP é igual a AOQ, assim como QOC é igual a POC.
Observa-se que a área do triângulo BQC é o quádruplo da BAQ. Então,
4(2B + A) = 9A
8B + 4A = 9A
A = 8B/5
Como B=5
A = 8
Fiz um pouquinho diferente.
Chamando a área do triângulo MBO de B. Analogicamente a área do triângulo AMO será B.
Agora chamando a área do triângulo AOQ de A, a área do triângulo QOC será 4A.
Chamando a área do triângulo BOP de C, temos que a área de POC será 4C, então C+4C=5A, C=A
A área de BOP é igual a AOQ, assim como QOC é igual a POC.
Observa-se que a área do triângulo BQC é o quádruplo da BAQ. Então,
4(2B + A) = 9A
8B + 4A = 9A
A = 8B/5
Como B=5
A = 8
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17:53
Re: (INSPER) Áreas de Triângulos
Studma escreveu: ↑Sáb 11 Jul, 2020 17:16Oi, pedro1729 e gab1234.
Fiz um pouquinho diferente.
Chamando a área do triângulo MBO de B. Analogicamente a área do triângulo AMO será B.
Agora chamando a área do triângulo AOQ de A, a área do triângulo QOC será 4A.
Chamando a área do triângulo BOP de C, temos que a área de POC será 4C, então C+4C=5A, C=A
A área de BOP é igual a AOQ, assim como QOC é igual a POC.
Observa-se que a área do triângulo BQC é o quádruplo da BAQ. Então,
4(2B + A) = 9A
8B + 4A = 9A
A = 8B/5
Como B=5
A = 8
Poderia me explicar pq a área do triângulo BQC é o quádruplo da BAQ
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Jul 2020
11
18:16
Re: (INSPER) Áreas de Triângulos
A área desses triângulos são proporcionais as bases pois a altura é a mesma. É só observar que se traçarmos a altura referente a base AC, as áreas desses triângulos vai depender somente da base pois a altura é igual.
Vou pegar um exemplo bem simples.
Um triângulo ABC de altura CE valendo 6 e CD é uma ceviana qualquer. AD = 10 e DB = 5
Calculando a área do triângulo ACD:
10 x 6 x 1/2 = 30
Calculando a área do triângulo ADB:
5 x 6 x 1/2 = 15
As áreas são proporcionais as bases.
30/10 = 15/5
3=3
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