a)sen (2 [tex3]\pi [/tex3] /n)
b)tg ([tex3]\pi [/tex3] /n)
c)cos ([tex3]\pi [/tex3] /n)
d)sen ([tex3]\pi [/tex3] /n)
e) cos (2 [tex3]\pi [/tex3] /n)
Resposta
Gab:C,por favor com imagem a resolução
Pré-Vestibular ⇒ (MACKENZIE) Geometria Plana Tópico resolvido
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Jul 2020
04
17:38
(MACKENZIE) Geometria Plana
Sejam r e R, respectivamente, os raios das circunferências inscrita e circunscrita a um polígono regular de n lados. Então, qualquer que seja n, r/R vale:
a)sen (2 [tex3]\pi [/tex3] /n)
b)tg ([tex3]\pi [/tex3] /n)
c)cos ([tex3]\pi [/tex3] /n)
d)sen ([tex3]\pi [/tex3] /n)
e) cos (2 [tex3]\pi [/tex3] /n)
Gab:C,por favor com imagem a resolução
a)sen (2 [tex3]\pi [/tex3] /n)
b)tg ([tex3]\pi [/tex3] /n)
c)cos ([tex3]\pi [/tex3] /n)
d)sen ([tex3]\pi [/tex3] /n)
e) cos (2 [tex3]\pi [/tex3] /n)
Gab:C,por favor com imagem a resolução
“Não passamos de minhocas. Mas acredito ser uma minhoca que brilha.”
Sir Winston Churchill
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Deleted User 24633
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Jul 2020
04
20:47
Re: (MACKENZIE) Geometria Plana
Minha figura pode representa um hexágono mais minha solução generalizará para [tex3]n[/tex3]
:
Foque no triângulo [tex3]\triangle ABO[/tex3]
.
Por simetria, como nosso polígono é regular, o ponto [tex3]O[/tex3] (centro de ambas circunferências) coincide com o cento do polígono. Além disso, o ângulo [tex3]\angle AOB[/tex3] deve medir [tex3]\dfrac{2\pi}{n}[/tex3] (uma volta inteira dividida em [tex3]n[/tex3] partes iguais). Também por simetria, podemos concluir que [tex3]\overline{OA}=\overline{OB}[/tex3] , logo o triângulo [tex3]\triangle AOB[/tex3] é isósceles de base [tex3]AB[/tex3] , consequentemente a altura [tex3]OM[/tex3] é também, em particular, bissetriz do triângulo [tex3]\triangle AOB[/tex3] relativo a base [tex3]AB[/tex3] .
Assim, [tex3]\angle AOM=\dfrac{1}{2}\cdot \angle AOB=\dfrac{\pi}{n}[/tex3] . Por outro lado, observe que [tex3]OA[/tex3] (hipotenusa do triângulo [tex3]OAM[/tex3] ) é raio da circunferência circunscrita, e [tex3]OM[/tex3] (cateto adjacente ao ângulo de [tex3]\dfrac{\pi}{n}[/tex3] ) é raio da circunferência inscrita (pois [tex3]OM[/tex3] incide perpendicularmente na tangente [tex3]AB[/tex3] ).
Consequentemente [tex3]cos~ \left(\dfrac{\pi}{n} \right)=\dfrac{\overline{OM}}{\overline{OA}}=\dfrac{r}{R}[/tex3] .
- x1.png (49.85 KiB) Exibido 1578 vezes
Por simetria, como nosso polígono é regular, o ponto [tex3]O[/tex3] (centro de ambas circunferências) coincide com o cento do polígono. Além disso, o ângulo [tex3]\angle AOB[/tex3] deve medir [tex3]\dfrac{2\pi}{n}[/tex3] (uma volta inteira dividida em [tex3]n[/tex3] partes iguais). Também por simetria, podemos concluir que [tex3]\overline{OA}=\overline{OB}[/tex3] , logo o triângulo [tex3]\triangle AOB[/tex3] é isósceles de base [tex3]AB[/tex3] , consequentemente a altura [tex3]OM[/tex3] é também, em particular, bissetriz do triângulo [tex3]\triangle AOB[/tex3] relativo a base [tex3]AB[/tex3] .
Assim, [tex3]\angle AOM=\dfrac{1}{2}\cdot \angle AOB=\dfrac{\pi}{n}[/tex3] . Por outro lado, observe que [tex3]OA[/tex3] (hipotenusa do triângulo [tex3]OAM[/tex3] ) é raio da circunferência circunscrita, e [tex3]OM[/tex3] (cateto adjacente ao ângulo de [tex3]\dfrac{\pi}{n}[/tex3] ) é raio da circunferência inscrita (pois [tex3]OM[/tex3] incide perpendicularmente na tangente [tex3]AB[/tex3] ).
Consequentemente [tex3]cos~ \left(\dfrac{\pi}{n} \right)=\dfrac{\overline{OM}}{\overline{OA}}=\dfrac{r}{R}[/tex3] .
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00:51
Re: (MACKENZIE) Geometria Plana
pedro1729 Resolução perfeita dms !!! Vlw
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