Pré-Vestibular ⇒ (FGV) Análise Combinatória Tópico resolvido

[gab1234]

9. (FGV) Considere, no espaço cartesiano bidimensional, os movimentos unitários N, S, L e O definidos a seguir, onde (a,b) [tex3]\in [/tex3]

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[tex3]\in [/tex3]

R² é um ponto qualquer:
N(a, b) = (a, b + 1)
S(a, b) = (a, b – 1)
L(a, b) = (a, 1, b)
O(a, b) = (a – 1, b)
Considere ainda que a notação XY(a,b) significa X(Y(a,b)), isto é, representa a combinação em sequência dos movimentos unitários X e Y, onde o movimento Y é executado primeiro e, a seguir, o movimento X.
a) Mostre que a combinação dos movimentos N e S, em qualquer ordem, é nula, isto é, NS(a,b) = SN(a, b) = (a, b).
b) Partindo do ponto (1,4), quantos caminhos mínimos (isto é, com a menor quantidade possível de movimentos) diferentes podem ser percorridos, utilizando apenas os movimentos unitários definidos, para se chegar ao ponto (–1,7)?

Resposta

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b)10

[Tassandro]

gab1234,
Observe que o movimento N equivale a andar 1 unidade para cima e o movimento S equivale a andar uma unidade para baixo. Assim, ao combinarmos esses dois movimentos em qualquer ordem, não há alteração na nossa posição.
Observe que estamos restritos a 4 movimentos:
Translação vertical e translação horizontal.
Para irmos de (1,4) para (-1,7), precisamos de, no mínimo, duas translações horizontais para a esquerda e três translações verticais e para cima, assim, o número mínimo de caminhos diferentes será dado por [tex3]P_{5}^{2,3}=\frac{5!}{2!\cdot3!}=10[/tex3]

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[tex3]P_{5}^{2,3}=\frac{5!}{2!\cdot3!}=10[/tex3]