Pré-Vestibular(UnB) Progressão geométrica e aritmética Tópico resolvido

Poste aqui problemas de Vestibulares. Informe a fonte, o ano e o assunto. Exemplo: (FUVEST - 2008) Logaritmos.

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andrezza
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(UnB) Progressão geométrica e aritmética

Mensagem não lida por andrezza »

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Nos últimos anos, milhares de satélites artificiais terrestres foram lançados para serem utilizados na comunicação civil e militar, no sensoriamento remoto, em sistemas de localização e posicionamento etc. Esses satélites descrevem órbitas elípticas ou circulares em torno da Terra, sob a ação da força gravitacional da Terra, e sob a influência de corpos celestes, principalmente da Lua e do Sol. Os satélites de comunicação civil estão posicionados, em sua maioria, em órbitas geoestacionárias, na qual cada satélite mantém sua posição constante com relação a qualquer observador fixo na Terra. Os satélites de comunicação recebem dados na forma de sinais de radiofreqüência provenientes de transmissores localizados na superfície terrestre. Um dos problemas enfrentados na comunicação por satélite é o nível pequeno da potência do sinal de radiofreqüência recebido no satélite: quanto menor esse nível, menor a qualidade da comunicação. A figura acima ilustra o comportamento simplificado do fator de atenuação da potência do sinal transmitido ao satélite, [tex3]\Delta [/tex3] , que é expresso por [tex3]\Delta = 20 × log (4 × 10^7 × d × f )[/tex3] , em que d é a distância, em milhares de quilômetros, entre o satélite e o transmissor na superfície da Terra e f é a frequência, em GHz, do sinal transmitido, para freqüências de 1 GHz, 5 GHz, 10 GHz e 20 GHz.
Julgue:
1-Fixando-se f = 1 Ghz, [tex3]\Delta [/tex3] passa a depender apenas da distância d, [tex3]\Delta =\Delta (d)[/tex3] . Nessa situação, se [tex3]d_1 , d_2 , ..., d_n [/tex3] é uma progressão geométrica de razão q > 0 e d > 0, então [tex3]\Delta (d_1),\Delta (d_2), ..., \Delta (d_n)[/tex3] é uma progressão aritmética de razão 20 × log (q).
Resposta

Certo




mcarvalho
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Jun 2020 08 20:08

Re: (UnB) Progressão geométrica e aritmética

Mensagem não lida por mcarvalho »

Boa noite.

Se [tex3]d_1,d_2...d_n[/tex3] estão em PG, diga que q é a razão dessa PG. Você vai ter: [tex3]d_2=d_1\cdot q;d_3=d_1\cdot q^2;...;d_n=d_1\cdot q^{n-1}[/tex3]

De imediato parece que a alternativa está correta pela propriedade de logaritmos de que [tex3]\log(a\cdot b\cdot ...\cdot z)=\log a+...+\log z[/tex3] , mas vamos comprovar isso de fato.

[tex3]\Delta (d_1)=20\cdot \log (4\cdot 10^7\cdot d_1)=20(\log4+\log 10^7+\log d_1)[/tex3]

Vamos chamar [tex3]20(\log4+\log 10^7)=k[/tex3] uma constante qualquer, e o que sobra é:

[tex3]\Delta (d_1)=k+20\log d_1\\
\Delta (d_2)=k+20\log d_2=k+20\log (d_1\cdot q)=k+20\log d_1+20\log q\\
\Delta (d_3)=k+20\log (d_1\cdot q^2)=k+20\log d_1+20\log q^2=k+20\log d_1+2\cdot 20\log q[/tex3]

Então temos uma PA de razão [tex3]\log q[/tex3] (não é difícil terminar de provar formalmente por indução).



"Dizem que não existe almoço grátis. Mas o universo é o derradeiro almoço grátis"

Alan Guth

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