Boa tarde.
A resolução do colega
fkaio é adequada e tem o mérito de explicitar tudo o que se faz -- desse modo, não se corre o risco, muito presente na utilização de fórmulas, de não entender o que se está fazendo.
Contudo, ainda assim, pode ser interessante que façamos um esforço para entender o que significa [tex3]p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)[/tex3]
.
O estudo da probabilidade é o estudo das condições favoráveis. Tome os conjuntos U, S, tais que S está contido em U. Se queremos calcular a probabilidade de que ocorra S (a nossa situação favorável), sendo U o conjunto que designa o total de situações possíveis (o nosso espaço amostral), tem-se, matematicamente, que:
[tex3]P(S)=\frac{n(S)}{n(U)}[/tex3]
Em que [tex3]n(X)[/tex3]
representa o número de elementos do conjunto X.
Com efeito, toda a teoria de probabilidades é formada e formalizada a partir de noções de teoria dos conjuntos.
Vamos agora ao seu exercício.
Existem três conjuntos de possibilidades conhecidas:
i) De alguém pegar a doença A (conjunto A)
ii) De alguém pegar a doença B (conjunto B)
iii) De alguém não pegar nem a doença A nem a doença B
O conjunto universo é a reunião dessas três possibilidades. A possibilidade iii), formalmente, é o complementar de i) e ii) em relação ao universo. Isto é, a possibilidade iii) é quando não ocorre nem i) nem ii). Se designarmos de C o conjunto que representa essa possibilidade, teremos:
[tex3]C=(A\cup B)^C[/tex3]
, em que [tex3]X^C[/tex3]
representa o complementar de X em relação ao universo.
Aqui, algumas operações de conjuntos são importantes.
i) [tex3]A\cup B[/tex3]
é a união de A com B, isto é, é qualquer elemento de
A ou B. No nosso exemplo, isso significa que [tex3]P(A\cup B)[/tex3]
é a probabilidade de você pegar a doença A ou de pegar a doença B. Qualquer uma das duas serve! Daqui a pouco eu volto a falar dessa fórmula.
ii) [tex3]A\cap B[/tex3]
é a interseção de A com B, isto é, é um elemento que esteja em
A e B. No nosso exemplo, isso significa que [tex3]P(A\cap B)[/tex3]
é a probabilidade de você pegar a doença A e de pegar a doença B, as duas, necessariamente.
Existem alguns casos em que a interseção é nula. Isto quer dizer que você não consegue fazer os dois juntos. Quando é assim, dizemos que os eventos são disjuntos entre si, ou mutuamente exclusivos entre si. Por exemplo: a probabilidade de você usar ou não óculos. Ou você usa ou você não usa. A interseção é impossível. Eventos disjuntos. Nesse caso em particular, note que [tex3]P(A\cup B)=P(A)+P(B)[/tex3]
Sobre a nossa fórmula, [tex3]P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)[/tex3]
, o que nós estamos fazendo aqui é o seguinte: a probabilidade de que você tenha a doença A ou a doença B é a probabilidade de que você tenha a doença A, mais a probabilidade de que você tenha a doença B, menos a probabilidade de que você tenha as duas. Nós só eliminamos a probabilidade de que você tenha as duas porque senão as contaríamos duas vezes.
Com efeito, se alguém contraiu a doença A, e contraiu B também, ela será contada em A e em B, mesmo sendo a mesma pessoa! Por isso é importante retirar os casos da interseção.
É uma noção intuitiva essencial para resolver questões elementares (sem probabilidade) de teoria dos conjuntos, por exemplo, em que se usa o Diagrama de Nolan - e que você inclusive já deve ter visto/feito.
"Dizem que não existe almoço grátis. Mas o universo é o derradeiro almoço grátis"
Alan Guth