Pré-Vestibular ⇒ (UnB) Números Complexos Tópico resolvido

[andrezza]

Considere a função g(t) = 0,2t²– 0,4t + 1, definida para todo número real t, cuja restrição ao intervalo 0 ≤ t ≤ 2. Considerando, também, que t₁ e t₂ são as raízes de g(t), sendo a parte imaginária de t₁ estritamente positiva, julgue os itens a seguir
1- 1+ t₂= -2 [tex3]\sqrt{2}\left(cos\frac{3\pi }{4}+isen\frac{3\pi }{4}\right)[/tex3]

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[tex3]\sqrt{2}\left(cos\frac{3\pi }{4}+isen\frac{3\pi }{4}\right)[/tex3]

2- [tex3]\frac{1+t_1}{2\sqrt{2}}[/tex3]

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[tex3]\frac{1+t_1}{2\sqrt{2}}[/tex3]

é uma das raízes imaginárias da equação x⁸=1

Resposta

---

C C

[Farinheiro]

A restrição é muito esquisita, pois não valida os complexos em g(t), porém, segue a idea:

Resolvendo a eq do 2°grau([tex3]2t^2-4t+10=0[/tex3]

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[tex3]2t^2-4t+10=0[/tex3]

), temos:

[tex3]t_{1,2}=\frac{4\pm\sqrt{-64}}{4}[/tex3]

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[tex3]t_{1,2}=\frac{4\pm\sqrt{-64}}{4}[/tex3]

[tex3]\rightarrow t_1=1+2i,\space t2=1-2i[/tex3]

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[tex3]\rightarrow t_1=1+2i,\space t2=1-2i[/tex3]

1)

[tex3]1+t_2=2-2i=-2\sqrt{2}(-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i)=-2\sqrt{2}\left(cos\frac{3\pi }{4}+isen\frac{3\pi }{4}\right)[/tex3]

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[tex3]1+t_2=2-2i=-2\sqrt{2}(-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i)=-2\sqrt{2}\left(cos\frac{3\pi }{4}+isen\frac{3\pi }{4}\right)[/tex3]

.

2)

[tex3]\frac{1+t_1}{2\sqrt{2}}=\frac{2+2i}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i=cis(\frac{\pi}{4})[/tex3]

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[tex3]\frac{1+t_1}{2\sqrt{2}}=\frac{2+2i}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i=cis(\frac{\pi}{4})[/tex3]

[tex3]cis(\frac{\pi}{4})[/tex3]

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[tex3]cis(\frac{\pi}{4})[/tex3]

é uma raiz de [tex3]x^8=1[/tex3]

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[tex3]x^8=1[/tex3]

, uma vez que [tex3]cis^8(\frac{\pi}{4})=cis(\frac{8\pi}{4})=cis(2\pi)=1[/tex3]

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[tex3]cis^8(\frac{\pi}{4})=cis(\frac{8\pi}{4})=cis(2\pi)=1[/tex3]