Pré-Vestibular ⇒ (UnB) Área Tópico resolvido

[andrezza]

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Um conhecido programa de política de saúde pública inclui a aplicação do teste do pezinho, que consiste na coleta de sangue no calcanhar de recém-nascidos visando-se à detecção precoce de uma série de erros no metabolismo de uma criança. Considere que o contorno do calcanhar de um bebê submetido ao teste do pezinho possa ser descrito, conforme mostrado na figura acima, no sistema de coordenadas cartesianas xOy, por uma parábola cujo gráfico contenha os pontos A = (–a, 0), B = (a, 0) e C = (0, a² ), em que a > 1, e a unidade de medida nos eixos coordenados é o centímetro. Considere que P = (x₀ , y₀ ), em que – a < x₀ < a, seja um ponto da parábola que é vértice do triângulo APB. Sabendo que a área entre a parábola e o eixo Ox, para –a ≤ x ≤ a, é igual a [tex3]\frac{4}{3}a^{3}[/tex3]

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[tex3]\frac{4}{3}a^{3}[/tex3]

cm² , represente por R a região do calcanhar, fora do triângulo APB – região sombreada na figura acima –, que contém possíveis locais de punção para o teste do pezinho
Julgue:
1- Se o ângulo APB for retângulo em P, então a sua área será igual a a cm²

Obs: Item foi anulado, mas gostaria de saber qual caminho seguir para resolver.

[Tassandro]

andrezza,
Sejam P' projeção de P sobre AB, h a distância PP' e [tex3]AP'=k.[/tex3]

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[tex3]AP'=k.[/tex3]

Podemos fazer que:
[tex3]h^2=(a+k)(a-k)=a^2-k^2[/tex3]

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[tex3]h^2=(a+k)(a-k)=a^2-k^2[/tex3]

Além disso, sabendo que a lei dessa função é dada por [tex3]f(x)=a^2-x^2[/tex3]

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[tex3]f(x)=a^2-x^2[/tex3]

, temos que
[tex3]f(k)=h\to [f(k)]^2=h^2\to (a^2-k^2)^2=h^2=a^2-k^2[/tex3]

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[tex3]f(k)=h\to [f(k)]^2=h^2\to (a^2-k^2)^2=h^2=a^2-k^2[/tex3]

Como [tex3]k\neq\pm a,[/tex3]

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[tex3]k\neq\pm a,[/tex3]

pois se o fosse, P'=A ou P'=B, podemos fazer que
[tex3](a^2-k^2)\cancel{(a^2-k^2)}=\cancel{(a^2-k^2)}=1\to k^2=a^2-1\to h^2=a^2-k^2=a^2-(a^2-1)=1[/tex3]

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[tex3](a^2-k^2)\cancel{(a^2-k^2)}=\cancel{(a^2-k^2)}=1\to k^2=a^2-1\to h^2=a^2-k^2=a^2-(a^2-1)=1[/tex3]

Como h>0, h=1, assim, a área do triângulo seria:
[tex3]A=\frac{2ah}{2}=a[/tex3]

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[tex3]A=\frac{2ah}{2}=a[/tex3]