Pré-Vestibular

Mensagem não lidapor **joãofw** » Sex 22 Mai, 2020 15:35

Seja [tex3]f: [0, 4] \to R[/tex3] a função cujo gráfico está ilustrado abaixo.

: UFU 2009.png (24.72 KiB) Exibido 2045 vezes

Sobre as afirmações seguintes

I - o domínio da função [tex3]f\{x + 2)[/tex3] é o intervalo [tex3][–2, 2][/tex3]
II - a imagem da função [tex3]f(x + 2)[/tex3] é o intervalo [tex3][1, 5\}[/tex3]
III - a equação [tex3]|f\{x + 2) + 2| = O[/tex3] não tem solução
IV - a função [tex3]f(x + 2),[/tex3] em seu domínio de definição, é injetora

é CORRETO afirmar que

A) II e III são verdadeiras.
B) I, II e III são verdadeiras.
C) I e IV são verdadeiras.
D) I e IIl são verdadeiras.

Resposta

d

Socorro pessoal!

Boa tarde.

joãofw escreveu: ↑
Sex 22 Mai, 2020 15:35
I - o domínio da função f(x+2) é o intervalo [-2;2]

O menor valor que f pode tomar como argumento é 0, e o maior é quatro. Para [tex3]x+2=0\rightarrow x=-2[/tex3] , e para [tex3]x+2=4\rightarrow x=2[/tex3] .

joãofw escreveu: ↑
Sex 22 Mai, 2020 15:35
II - a imagem da função f(x+2) é o intervalo [1;5]

Na prática, a função f(x+2) é a função f(x) deslocada duas unidades horizontalmente. Perceba que esse deslocamento horizontal não altera a imagem da função. De fato, o menor valor de f(x), que é o -1, por exemplo, ocorre também em f(x+2): [tex3]x=-1\rightarrow f(-1+2)=f(1)=-1[/tex3]

joãofw escreveu: ↑
Sex 22 Mai, 2020 15:35
II - a equação não tem solução

Vou assumir que esse O na verdade é 0.

[tex3]|f(x+2)+2|=0[/tex3]

Caso [tex3]f(x+2)\ge-2[/tex3] o que é sempre verdade, teremos: [tex3]f(x+2)=-2[/tex3] (impossível)

joãofw escreveu: ↑
Sex 22 Mai, 2020 15:35
a função f(x+2) em seu domínio de definição, é injetora

f(x) é injetora? Lembrando-se de que f(x+2) é uma alteração apenas horizontal de f, deixo essa alternativa pra você responder.

Qualquer dúvida avise.

Mensagem não lidapor **joãofw** » Sex 22 Mai, 2020 17:10

mcarvalho,
Agora entendi a resolução, sou meio leigo em matemática.Mas, se eu não tivesse percebido que a função deslocou duas unidades na horizontal? como eu faria essa questão??

joãofw escreveu: ↑
Sex 22 Mai, 2020 17:10
Mas, se eu não tivesse percebido que a função deslocou duas unidades na horizontal? como eu faria essa questão??

Seja [tex3]f(x)[/tex3] uma função e [tex3]c> 0[/tex3] uma constante.

É bastante conhecido que:

- [tex3]f(x+c)[/tex3] promove deslocamento horizontal para a esquerda
- [tex3]f(x-c)[/tex3] promove deslocamento horizontal para a direita

Tome [tex3]f(x)=y[/tex3] . Associe [tex3]g(x)=f(x+c)[/tex3] , de onde vem [tex3]g(x-c)=f(x)=y[/tex3] .

Compare as duas funções, f e g: ambas terão a imagem [tex3]y[/tex3] . Contudo, a função f terá essa imagem no ponto [tex3]x[/tex3] ; a função [tex3]g[/tex3] terá essa imagem no ponto [tex3]x-c[/tex3] , que é menor do que [tex3]x[/tex3] (já que c > 0). Como [tex3]g(x)=f(x+c)[/tex3] , então dizemos que o gráfico de f(x+c) está à esquerda do gráfico de f(x). Colocar uma função genérica (de primeiro grau serve) e desenhá-la pode ajudar.

- [tex3]f(x)+c[/tex3] promove deslocamento vertical para baixo
- [tex3]f(x)-c[/tex3] promove deslocamento vertical para cima

Aqui a ideia é pensar que c estará atuando como termo independente. Independente de já haver um termo independente ou não, quando você coloca o c, você o está adicionando ao termo independente. Seja [tex3]f(x)+c=m(x)\rightarrow \boxed{f(x)=m(x)-c}[/tex3]

Como c > 0, então [tex3]m(x)-c< m(x)[/tex3] , portanto o termo independente de f fica menor: por consequência a função fica "mais baixa". De novo, desenhar os gráficos pode ajudar.

joãofw escreveu: ↑
Sex 22 Mai, 2020 17:10
Mas, se eu não tivesse percebido que a função deslocou duas unidades na horizontal? como eu faria essa questão??

Contudo talvez não seja tão necessário tanto.

A minha dica, nesse caso, é esboçar manualmente o novo gráfico da função. Vamos lá:

[tex3]x=-2\rightarrow f(x+2)=f(0)=2\\
x=-1\rightarrow f(-1+2)=f(1)=-1\\
....[/tex3]

E assim por diante. E aí você vai ligando os pontos da função conforme for conveniente, seguindo sempre a ideia do gráfico da função. A ideia é que esses deslocamentos não mudam o comportamento, mudam o lugar em que eles ocorrem.

A terceira (ou quarta) questão da segunda fase de matemática da Fuvest 2019 também trabalha esse conceito. Recomendo que depois a faça, para treinar.

Mensagem não lidapor **joãofw** » Sex 22 Mai, 2020 19:27

Magnífico, mcarvalho! É trabalhoso essa questão. Outra coisa, ele coloca no início que o domínio está no intervalo [0,4]. Desse modo, eu deveria substituir o "x" pelos valores desse domínio para responder a afirmativa I. Por favor, se puder me esclarecer. Já peguei "x1000" aula sobre função, mas essa questão me provou que as videoaulas não serviram para nada...

Então vamos tentar entender bem o que estamos fazendo aqui. É importante tornar-se fluente neste tipo de questão.

Vou começar com uma função mais simples.

[tex3]f(x)=x[/tex3]

Contudo, nós vamos defini-la como [tex3]f:[0;2]\rightarrow R[/tex3] , ou seja, vamos restringir seu domínio ao intervalo [0;2]. Agora, vamos tomar uma outra função, [tex3]f(x+1)[/tex3] .

Vamos estudar os valores (inteiros) que essas funções podem assumir:

[tex3]x=0\rightarrow f(x)=\boxed{f(0)=0}[/tex3] e [tex3]f(x+1)=\boxed{f(1)=1}[/tex3]
[tex3]x=1\rightarrow f(x)=\boxed{f(1)=1}[/tex3] e [tex3]f(x+1)=\boxed{f(2)=2}[/tex3]

Agora, para x=3, perceba que teremos um problema:
[tex3]x=2\rightarrow f(x)=\boxed{f(2)=2}[/tex3] mas [tex3]f(x+1)=\boxed{f(3)}[/tex3] , e f(3) não existe, pois o 3 não está definido.

Entende? Nós alteramos o domínio da nova função exatamente para que ela possa "caber" na função antiga. Os valores da função não se alteram, nem o comportamento, mas o momento em que determinado comportamento ocorre, isto sim, se altera.

Qualquer coisa que ainda tiver ficado em aberto eu esclareço.

Agora estou começando a entender mcarvalho!!!!

Entendi o intervalo que o exercício coloca no enunciado. Serve para indicar que o domínio ficará restrito ao intervalo [0,4]. Qualquer valor de "x" que fugir desse intervalo, não servirá para a nossa função, é isso?

joãofw escreveu: ↑
Sáb 23 Mai, 2020 07:49
Qualquer valor de "x" que fugir desse intervalo, não servirá para a nossa função, é isso?

É basicamente isso, mas apenas sendo técnico: na verdade, qualquer argumento de [tex3]f[/tex3] que fugir desse intervalo não servirá. O valor máximo do domínio é 4. O maior argumento que f pode receber é 4. Se eu tenho uma relação [tex3]f(x)[/tex3] , então, de fato, o maior valor que x pode receber é [tex3]4[/tex3] . Se eu tenho uma relação, do tipo, por exemplo, [tex3]f(x+200)[/tex3] , é preciso que o maior valor do argumento (e o argumento aqui é "x + 200") seja 4, então: [tex3]x+200=4\rightarrow x=-196[/tex3] . qualquer coisa maior do que -196 não servirá para a nossa função [tex3]f(x+200)[/tex3]

Ahhh, agora estou começando a entender essa história de argumento :DDDD

Pré-Vestibular ⇒ (UFU 2009) Função Tópico resolvido

(UFU 2009) Função

Re: (UFU 2009) Função

Re: (UFU 2009) Função

Re: (UFU 2009) Função

Re: (UFU 2009) Função

Re: (UFU 2009) Função

Re: (UFU 2009) Função

Re: (UFU 2009) Função

Re: (UFU 2009) Função

Re: (UFU 2009) Função

Pré-Vestibular ⇒ (UFU 2009) Função Tópico resolvido

Entrar • Registrar