Pré-Vestibular ⇒ Matrizes e Determinantes Tópico resolvido

[IRONMAN]

Seja A = [tex3]\begin{pmatrix}
\sqrt{3}/2& 1/2 & 0\\
-1/2& \sqrt{3}/2& 0 \\
0& 0& 1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{pmatrix}
\sqrt{3}/2& 1/2 & 0\\
-1/2& \sqrt{3}/2& 0 \\
0& 0& 1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

a) Justifique, através de cálculos do determinante, que A é invertível.

b) Mostre que A^-1 = A^t

Resposta

---

demonstração

[petras]

IRONMAN,

Calculando o Determinante de A você encontrará
[tex3]\mathsf{DetA =1\neq 0(condição~de~ser~inversível)\implies Inversível}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{DetA =1\neq 0(condição~de~ser~inversível)\implies Inversível}[/tex3]

[tex3]A ^{-1}=\left[ \begin{array}{ccc}
\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\
-\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 0\\
0 & 0 & 1
\end{array} \right][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A ^{-1}=\left[ \begin{array}{ccc}
\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\
-\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 0\\
0 & 0 & 1
\end{array} \right][/tex3]

[tex3]\mathsf{A^{-1}=\frac{1}{DetA}.\overline{A}(Matriz ~Adjunta)\\
\overline{A}=\left[ \begin{array}{ccc}
\frac{\sqrt{3}}{2} &- \frac{1}{2} & 0 \\
\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 0\\
0 & 0 & 1
\end{array} \right] \implies A^{-1}=\frac{1}{1}.\overline{A} = \overline{A}\\mas~A^t=\left[ \begin{array}{ccc}
\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \\
\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 0\\
0 & 0 & 1
\end{array} \right]=\overline{A}\\
\therefore\boxed{\color{red}~A^{-1}=A^t~c.q.d.}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{A^{-1}=\frac{1}{DetA}.\overline{A}(Matriz ~Adjunta)\\
\overline{A}=\left[ \begin{array}{ccc}
\frac{\sqrt{3}}{2} &- \frac{1}{2} & 0 \\
\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 0\\
0 & 0 & 1
\end{array} \right] \implies A^{-1}=\frac{1}{1}.\overline{A} = \overline{A}\\mas~A^t=\left[ \begin{array}{ccc}
\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \\
\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 0\\
0 & 0 & 1
\end{array} \right]=\overline{A}\\
\therefore\boxed{\color{red}~A^{-1}=A^t~c.q.d.}}[/tex3]

Caso não saiba calcular a matriz adjunta é só avisar

[IRONMAN]

IRONMAN,

Calculando o Determinante de A você encontrará
[tex3]\mathsf{DetA =1\neq 0(condição~de~ser~inversível)\implies Inversível}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{DetA =1\neq 0(condição~de~ser~inversível)\implies Inversível}[/tex3]

[tex3]A ^{-1}=\left[ \begin{array}{ccc}
\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\
-\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 0\\
0 & 0 & 1
\end{array} \right][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A ^{-1}=\left[ \begin{array}{ccc}
\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\
-\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 0\\
0 & 0 & 1
\end{array} \right][/tex3]

[tex3]\mathsf{A^{-1}=\frac{1}{DetA}.\overline{A}(Matriz ~Adjunta)\\
\overline{A}=\left[ \begin{array}{ccc}
\frac{\sqrt{3}}{2} &- \frac{1}{2} & 0 \\
\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 0\\
0 & 0 & 1
\end{array} \right] \implies A^{-1}=\frac{1}{1}.\overline{A} = \overline{A}\\mas~A^t=\left[ \begin{array}{ccc}
\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \\
\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 0\\
0 & 0 & 1
\end{array} \right]=\overline{A}\\
\therefore\boxed{\color{red}~A^{-1}=A^t~c.q.d.}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{A^{-1}=\frac{1}{DetA}.\overline{A}(Matriz ~Adjunta)\\
\overline{A}=\left[ \begin{array}{ccc}
\frac{\sqrt{3}}{2} &- \frac{1}{2} & 0 \\
\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 0\\
0 & 0 & 1
\end{array} \right] \implies A^{-1}=\frac{1}{1}.\overline{A} = \overline{A}\\mas~A^t=\left[ \begin{array}{ccc}
\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \\
\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 0\\
0 & 0 & 1
\end{array} \right]=\overline{A}\\
\therefore\boxed{\color{red}~A^{-1}=A^t~c.q.d.}}[/tex3]

Caso não saiba calcular a matriz adjunta é só avisar

Saudações. Eu estudo em casa e pelo material que eu tenho aqui não vi sobre Matriz Adjunta. O Sr. poderia me explicar melhor? Por gentileza...Obrigado

[petras]

IRONMAN,
Veja este vídeo
https://www.youtube.com/watch?v=ww1QYnacb2E

https://www.ime.unicamp.br/~deleo/MA141/Luiza01.pdf

[IRONMAN]

IRONMAN,
Veja este vídeo
https://www.youtube.com/watch?v=ww1QYnacb2E

https://www.ime.unicamp.br/~deleo/MA141/Luiza01.pdf

Obrigado Mestre !