Boa tarde, para a resolução vamos traçar a reta DE tangente ás duas circunferências, dessa forma, teremos o triângulo CDE, que também será equilátero.
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01) Primeiro calculemos o raio da circunferência maior : [tex3]\frac{R}{\frac{1}{2}}=tg30°\rightarrow R=\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{3}}{3}\therefore R=\frac{\sqrt{3}}{6}[/tex3]
.
Vamos achar a altura do triângulo ABC : [tex3]h=\frac{1.\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3]
, que por sinal já valida a afirmativa 04. Agora veja que o diâmetro da circ. maior é [tex3]\frac{\sqrt{3}}{3}[/tex3]
, se subtrairmos a altura de ABC desse valor, vamos encontrar justamente a altura do triângulo CDE : [tex3]\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{3}}{6}[/tex3]
.
Para achar o lado ''x'', faremos : [tex3]\frac{x\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{6}\therefore x=\frac{1}{3}[/tex3]
.
Finalmente, calculemos o raio da circ. menor : [tex3]\frac{r}{\frac{1}{6}}=tg30°\rightarrow r=\frac{1}{6}.\frac{\sqrt{3}}{3}\therefore r=\frac{\sqrt{3}}{18}[/tex3]
.
Observe a relação entre o raio ''r'' e a altura de ABC por meio de uma razão : [tex3]\frac{r}{h}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{18}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\therefore r=\frac{h}{9}[/tex3]
, ou seja, a afirmativa 01 está errada.
02) Usando o mesmo raciocínio, temos que [tex3]\frac{R}{h}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\therefore R=\frac{h}{3}[/tex3]
,portanto a afirmativa está correta.
04) Já vimos que está correta.
08) Mais uma vez, seja ''A1'' a área da circ. maior e ''A2'' a área da circ. menor, temos que [tex3]\frac{A2}{A1}=\frac{\pi \frac{3}{324}}{\pi\frac{3}{36} }\therefore A2=\frac{A1}{9}[/tex3]
, também correto.
16) Somando os perímetros [tex3]2\pi \frac{\sqrt{3}}{6}+2\pi \frac{\sqrt{3}}{18}=\pi \frac{\sqrt{3}}{3}+\pi \frac{\sqrt{3}}{9}=\frac{4\pi \sqrt{3}}{9}[/tex3]
, correto.
