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Mensagem não lidapor **Heisenberg1** » 18 Mai 2020, 15:14

. (Fgv 2015) Se [tex3]x^{2}-x-1[/tex3] é um dos fatores da fatoração de [tex3]mx^{3}+nx^{2}+1[/tex3] com n e m inteiros então,
n +m é igual a
a) −2.
b) −1.
c)0.
d)1.
e)2.

Resposta

b

Mensagem não lidapor **MateusQqMD** » 18 Mai 2020, 15:42 · Mensagem não lida por **MateusQqMD** » 18 Mai 2020, 15:42

Olá, Heisenberg1.

O polinômio [tex3]p(X) = mX^3 +nX^2 + 1[/tex3] pode ser escrito na sua forma fatorada

[tex3]p(X) = m\(X^2- X -1\)\(X- X_3\),[/tex3]

em que [tex3]X_3[/tex3] é uma de suas raízes.

Daí,

[tex3]mX^{3}+nX^{2}+1 = m\(X^2- X -1\)\(X- X_3\) \,\,\Leftrightarrow \,\, mX^{3}+nX^{2}+1 = mX^3 -m\(X_3 +1\)X^2 +m(X_3 -1)X + mX_3[/tex3]

Da igualdade entre polinômios, temos

[tex3]\begin{cases}
n = -m\(X_3 +1\)\\
0 = m(X_3 -1) \\
1 = mX_3
\end{cases}[/tex3]

Note que [tex3]m \neq 0[/tex3] e, portanto, [tex3]0 = m(X_3 -1) \,\, \Leftrightarrow \,\, X_3 = 1,[/tex3] de sorte que [tex3]m = 1[/tex3] e [tex3]n = -2.[/tex3]

Portanto, a resposta é [tex3]1 + (-2) = -1.[/tex3]

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