Pré-VestibularFatoração Tópico resolvido

Poste aqui problemas de Vestibulares. Informe a fonte, o ano e o assunto. Exemplo: (FUVEST - 2008) Logaritmos.

Moderador: [ Moderadores TTB ]

Avatar do usuário
Autor do Tópico
IRONMAN
Pleno
Mensagens: 96
Registrado em: Seg 26 Mar, 2018 11:26
Última visita: 19-07-21
Mai 2020 17 12:34

Fatoração

Mensagem não lida por IRONMAN »

Quantos pares [tex3](m,n)[/tex3] de números inteiros satisfazem a equação [tex3]m + n = m × n[/tex3]
Resposta

2
Eu achei a resposta de maneira dedutiva msmo...Mas quero uma maneira mais formal. Por gentileza senhores.

Assim como em:

"Quantos pares (m,n) de inteiros positivos são solução para [tex3]\frac{4}{m} + \frac{2}{n} = 1[/tex3] ?"

Da mesma forma, por tentativa e erro, encontrei apenas 3 pares, o gabarito diz existir 4. Me ajudem doutos matemáticos.

Última edição: IRONMAN (Dom 17 Mai, 2020 12:35). Total de 1 vez.



goncalves3718
3 - Destaque
Mensagens: 816
Registrado em: Qui 26 Dez, 2019 15:26
Última visita: 11-04-23
Mai 2020 17 14:32

Re: Fatoração

Mensagem não lida por goncalves3718 »

[tex3]m+n=mn[/tex3]
[tex3]m+n-mn=0[/tex3]
[tex3]n(1-m)+m=0[/tex3]

Multiplicando por [tex3]-1[/tex3] :

[tex3]-n(1-m)-m=0[/tex3]

Somando [tex3]1[/tex3] em ambos os lados:

[tex3]-n(1-m)+1-m=1[/tex3]
[tex3]-n(1-m)+1(1-m)=1[/tex3]
[tex3](1-m)(1-n)=1[/tex3]

Como estamos trabalhando com números reais as possibilidades para esse produto são:

[tex3]\begin{cases} 1-m=1 \\
1-n=1 \end{cases}[/tex3]

Nesse caso temos a solução [tex3](m,n)=(0,0)[/tex3]
Ou:

[tex3]\begin{cases}1-m=-1 \\ 1-n=-1\end{cases}[/tex3]

Nesse caso, temos a solução [tex3](m,n)=(2,2)[/tex3]

Espero ter ajudado...




goncalves3718
3 - Destaque
Mensagens: 816
Registrado em: Qui 26 Dez, 2019 15:26
Última visita: 11-04-23
Mai 2020 17 14:43

Re: Fatoração

Mensagem não lida por goncalves3718 »

Sobre a outra questão:

[tex3]\dfrac{4}{m}+ \dfrac{2}{n}=1[/tex3]

[tex3]\dfrac{4n+2m}{mn}=1[/tex3]

[tex3]4n+2m=mn[/tex3]

[tex3]4n+2m-mn=0[/tex3]

[tex3]mn-4n-2m=0[/tex3]

Somando [tex3]8[/tex3] em ambos os lados:

[tex3]mn-2m-4m+8=8[/tex3]

[tex3](m-4)(n-2)=8[/tex3]

As possibilidades são:

[tex3]\begin{cases}m-4=8 \\n-2=1\end{cases}[/tex3]

[tex3]\begin{cases}m-4=1 \\n-2=8\end{cases}[/tex3]

[tex3]\begin{cases}m-4=2 \\n-2=4\end{cases}[/tex3]

[tex3]\begin{cases}m-4=4 \\n-2=2\end{cases}[/tex3]

Portanto as soluções [tex3]{(m,n)=\{(12,3);(5,10);(6,6);(8,4)}\}[/tex3]




Responder
  • Tópicos Semelhantes
    Respostas
    Exibições
    Última msg
  • Nova mensagem Fatoração
    por FISMAQUIM » » em Ensino Fundamental
    0 Respostas
    410 Exibições
    Última msg por FISMAQUIM
  • Nova mensagem (FB) Fatoração
    por Deleted User 23699 » » em Ensino Médio
    1 Respostas
    262 Exibições
    Última msg por Ittalo25
  • Nova mensagem (FB) Fatoração
    por Deleted User 23699 » » em Ensino Médio
    1 Respostas
    267 Exibições
    Última msg por Ittalo25
  • Nova mensagem (Holanda) Fatoração
    por Deleted User 23699 » » em Olimpíadas
    1 Respostas
    536 Exibições
    Última msg por Deleted User 25040
  • Nova mensagem (EUA) Fatoração
    por Deleted User 23699 » » em Olimpíadas
    1 Respostas
    716 Exibições
    Última msg por Ittalo25

Voltar para “Pré-Vestibular”