Pré-Vestibular ⇒ (Livro Poliedro) - Geometria Plana Tópico resolvido

[oilut]

Na figura a seguir, A, B e C são centros de circunferência iguais:

Se a área do trapézio assinalado é 3, então a área do retângulo vale:

(A) 4 + 4 [tex3]\sqrt{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{3}[/tex3]

.
(B) 8 + 4 [tex3]\sqrt{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{3}[/tex3]

.
(C) 8 + 8 [tex3]\sqrt{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{3}[/tex3]

.
(D) 4 + 8 [tex3]\sqrt{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{3}[/tex3]

.
(E) 8+[tex3]\sqrt{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{3}[/tex3]

.

Resposta

---

(A) 4 + 4 [tex3]\sqrt{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{3}[/tex3]

.

[Tassandro]

oilut,

Seja r o raio das circunferências e [tex3]\ell_1,\ell_2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\ell_1,\ell_2[/tex3]

os lados do retângulo.
Temos que
[tex3]\ell_1=4r;\ell_2=r+\sqrt3r+r=r(2+\sqrt3)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\ell_1=4r;\ell_2=r+\sqrt3r+r=r(2+\sqrt3)[/tex3]

Além disso, pela área do trapézio, podemos fazer:
[tex3]\frac{(4r+2r)r}2=3\implies r=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{(4r+2r)r}2=3\implies r=1[/tex3]

Assim, basta calcular
[tex3]\ell_1\cdot\ell_2=4[1(2+\sqrt3)]=8+4\sqrt3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\ell_1\cdot\ell_2=4[1(2+\sqrt3)]=8+4\sqrt3[/tex3]

Não cheguei ao gabarito

[petras]

oilut,
O gabarito correto é letra b, como encontrado pelo Tassandro