Pré-Vestibular ⇒ UFMG - Poliedros Tópico resolvido

[florestinha89]

Considere um tetraedro regular de vértices A, B, C, D, cujas arestas medem r. Considere, ainda, que M e N são pontos médios das arestas BD e CD , respectivamente. Calcule a área do triângulo AMN.

O gabarito é:

Resposta

---

([tex3]R^{2}\sqrt{11}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]R^{2}\sqrt{11}[/tex3]

)/16

Tentei resolver assim:

IMG_20200514_213741.jpg (52.04 KiB) Exibido 1315 vezes

Não tenho certeza mas acho que estou errando na planificação. Alguém poderia me ajudar?

[petras]

[tex3]\mathsf{MN=base~média~\Delta_{BCD}=\frac{r}{2}\\
AN = AM = h\Delta_{ABD}=h\Delta_{ADC}=\frac{l\sqrt{3}}{2}=\frac{r\sqrt{3}}{2}\rightarrow \Delta_{AMN}~isósceles~\\
base=\frac{r}{2},~lados=\frac{r\sqrt{3}}{2}\\Pitágoras~\Delta_{AMN}\\
(h\Delta_{AMN})^2+\frac{r^2}{4}=(\frac{r\sqrt{3}}{3})^2\rightarrow h=\frac{r\sqrt{11}}{4}\\
S_{AMN}=\frac{\frac{r}{2}.\frac{r\sqrt{11}}{4}}{2}=\boxed{\color{red}\frac{r^2\sqrt{11}}{16}}
}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{MN=base~média~\Delta_{BCD}=\frac{r}{2}\\
AN = AM = h\Delta_{ABD}=h\Delta_{ADC}=\frac{l\sqrt{3}}{2}=\frac{r\sqrt{3}}{2}\rightarrow \Delta_{AMN}~isósceles~\\
base=\frac{r}{2},~lados=\frac{r\sqrt{3}}{2}\\Pitágoras~\Delta_{AMN}\\
(h\Delta_{AMN})^2+\frac{r^2}{4}=(\frac{r\sqrt{3}}{3})^2\rightarrow h=\frac{r\sqrt{11}}{4}\\
S_{AMN}=\frac{\frac{r}{2}.\frac{r\sqrt{11}}{4}}{2}=\boxed{\color{red}\frac{r^2\sqrt{11}}{16}}
}[/tex3]

[florestinha89]

petras, Entendi, muito agradecida