Pré-Vestibular ⇒ Geometria Analítica Tópico resolvido

[Heisenberg1]

Analiticamente a equação [tex3]4x^2 - 9y^2 - 8x + 36y - 68 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]4x^2 - 9y^2 - 8x + 36y - 68 [/tex3]

= 0 representa:

a)
Uma Elipse

b)
Uma circunferência

c)
Um par de retas concorrentes

d)
Uma hipérbole

e)
Um par de retas paralelas

eu cheguei em uma elipse

Resposta

---

d

[Deleted User 23699]

Olá

Seja uma cônica do tipo

[tex3]Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0[/tex3]

Podemos prever relativamente o lugar geométrico da equação usando as fórmulas

[tex3]B^2-4AC=0 \rightarrow PARABOLA \\
B^2-4AC >0 \rightarrow HIPERBOLE \\
B^2-4AC <0\rightarrow ELIPSE[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]B^2-4AC=0 \rightarrow PARABOLA \\
B^2-4AC >0 \rightarrow HIPERBOLE \\
B^2-4AC <0\rightarrow ELIPSE[/tex3]

Nesse caso vemos que esse valor é positivo
Ou seja essa equação é uma hipérbole, um par de retas concorrentes ou um conjunto vazio (as degenerações possíveis)

Podemos também simplesmente eliminar as alternativas
a) pois o sinal de x^2 e y^2 são diferentes, então não pode ser elipse
b) pois A e C são diferentes (coeficientes de x^2 e y^2)

Agora com o cálculo do B^2 - 4AC podemos eliminar também
e) pois um par de retas paralelas é a degeneração de uma parábola, e não de uma hipérbole

Agora precisamos decidir entre c ou d!!! Ou seja, precisamos decidir se isso é uma degeneração ou não

Para o reconhecimento de degenerações, usamos o seguinte determinante

[tex3]D=\begin{pmatrix}
2A & B & D \\
B & 2C & E \\
D & E & 2F \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]D=\begin{pmatrix}
2A & B & D \\
B & 2C & E \\
D & E & 2F \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Se D for nulo, a cônica é degenerada
Caso contrário, é uma cônica normal

Calculando esse determinante iremos encontrar que D é não-nulo
Portanto a eq é uma hipérbole

Cabe destacar que a questão foi extremamente generosa no meu ponto de vista: esse método do determinante é falho no caso em que a eq. representa um CONJUNTO VAZIO. Essa temática já foi abordada numa questão do IME. Para identificar o conjunto vazio devemos, sem outra saída, realizar as fatorações que a eq. apresenta. No final, chegaremos em algum absurdo matemático como
x^2 + y^2 = -1
(Soma de quadrados dando um número negativo)

Adicionando à resolução do tópico acho válido completar uma pequena teoria que nem sempre é dada nos cursos

Uma parábola degenera-se em UMA RETA OU UM PAR DE RETAS PARALELAS
Uma hipérbole degenera-se em UM PAR DE RETAS CONCORRENTES
Uma elipse degenera-se em um PONTO
E nem sempre a equação dada possui um lugar geométrico: PODE SER UM CONJUNTO VAZIO

Esse assunto é bem explicado pelos dois Teoremas de Dandelin-Quetelet e a origem das secções cônicas
Para IME/ITA existem bons livros como
Caio Guimarães - Geometria Analítica e Álgebra Vetorial
Jacir Venturi - Cônicas e Quádricas

que abordam esse tema
Abs