Pré-VestibularNúmeros Complexos e Polinômios Tópico resolvido

Poste aqui problemas de Vestibulares. Informe a fonte, o ano e o assunto. Exemplo: (FUVEST - 2008) Logaritmos.

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Heisenberg1
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Mai 2020 09 15:30

Números Complexos e Polinômios

Mensagem não lida por Heisenberg1 »

Se [tex3]P(z)[/tex3] é um polinômio do quarto grau na variável complexa [tex3]z,[/tex3] com coeficientes reais, que satisfaz as seguintes condições: [tex3]P(i) = P(–i)[/tex3] [tex3]= P(i + 1) =[/tex3] [tex3]P(1 – i) = 0[/tex3] e [tex3]P(1) = 1,[/tex3] então, [tex3]P (–1)[/tex3] é igual a

A) 3
B) -3
C) 5
D) -5

Observação: [tex3]i[/tex3] é o número complexo cujo quadrado é igual a [tex3]–1.[/tex3]
Resposta

5

Última edição: MateusQqMD (Sáb 09 Mai, 2020 18:55). Total de 1 vez.
Razão: colocar tex nas expressões matemáticas.



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MateusQqMD
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Mai 2020 09 18:53

Re: Números Complexos e Polinômios

Mensagem não lida por MateusQqMD »

Olá, Heisenberg1.

Seja [tex3]p(z) = az^4 + bz^3 + cz^2 + d.[/tex3] Como [tex3]p(i) = p(–i) = p(i + 1) = p(1 – i) = 0,[/tex3] segue que

[tex3]p(z) = a(z-z_2)(z-z_3)(z-z_4)(z-z_5) \,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\, p(z) = a(z+i)(z-i)(z +i -1)(z-1-i),[/tex3]

mas [tex3]p(1) = 1,[/tex3] e daí

[tex3]a(1+i)(1-i)(1 +i -1)(1-1-i) = 1 \,\, \Leftrightarrow \,\, a = \frac{1}{2}.[/tex3]

Portanto,

[tex3]p(z) = \frac{1}{2}(z+i)(z-i)(z +i -1)(z-1-i) \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, p(-1) = 5.[/tex3]



"Como sou pouco e sei pouco, faço o pouco que me cabe me dando por inteiro."

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ASPIRADEDEU
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Mai 2020 09 19:21

Re: Números Complexos e Polinômios

Mensagem não lida por ASPIRADEDEU »

MateusQqMD escreveu:
Sáb 09 Mai, 2020 18:53
Olá, Heisenberg1.

Seja [tex3]p(z) = az^4 + bz^3 + cz^2 + d.[/tex3] Como [tex3]p(i) = p(–i) = p(i + 1) = p(1 – i) = 0,[/tex3] segue que

[tex3]p(z) = a(z-z_2)(z-z_3)(z-z_4)(z-z_5) \,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\, p(z) = a(z+i)(z-i)(z +i -1)(z-1-i),[/tex3]

mas [tex3]p(1) = 1,[/tex3] e daí

[tex3]a(1+i)(1-i)(1 +i -1)(1-1-i) = 1 \,\, \Leftrightarrow \,\, a = \frac{1}{2}.[/tex3]

Portanto,

[tex3]p(z) = \frac{1}{2}(z+i)(z-i)(z +i -1)(z-1-i) \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, p(-1) = 5.[/tex3]
Nossa bem mais simples, eu fui fazer pelas relações de girard ficou tão grande que prefere nem manda para o cara kkkk
Achei a resposta, mas demorou



“Não passamos de minhocas. Mas acredito ser uma minhoca que brilha.”
Sir Winston Churchill

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