Pré-Vestibular ⇒ Função Exponencial Tópico resolvido

[ASPIRADEDEU]

Se f(x)=a+[tex3]2^{bx+c}[/tex3]

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[tex3]2^{bx+c}[/tex3]

, em que a,b e c são números reais. A imagem de f é a semirreta ]-1,[tex3]\infty [/tex3]

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[tex3]\infty [/tex3]

[ e o gráfico de f intercepta os eixos coordenados nos pontos (1, 0) e (0, -3/4). Então, o produto abc vale

a) 4

b) 2

c) 0

d) - 2

e) - 4

Resposta

---

GAB:A



[mcarvalho]

Boa tarde.

Essa é uma questão da Fuvest de 2010 ou 2011, salvo engano (talvez apenas tenha os dados modificados, não tenho certeza).

A imagem de f é a semirreta ]-1, [

Antes, vamos estudar uma função mais simples. [tex3]g(x)=2^x[/tex3]

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[tex3]g(x)=2^x[/tex3]

.

Perceba que quando [tex3]x=0[/tex3]

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[tex3]x=0[/tex3]

, temos [tex3]g(0)=2^0=1[/tex3]

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[tex3]g(0)=2^0=1[/tex3]

. Se aumentamos o valor de x, tomando valores maiores que zero, a função cresce arbitrariamente: [tex3]g(1)=2;g(2)=4;g(3)=8....[/tex3]

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[tex3]g(1)=2;g(2)=4;g(3)=8....[/tex3]

Se diminuímos o valor de x, tomando valores menores do que zero, a função decresce arbitrariamente. [tex3]g(-1)=\frac 12,g(-2)=\frac 14, g(-3)=\frac 18 ....[/tex3]

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[tex3]g(-1)=\frac 12,g(-2)=\frac 14, g(-3)=\frac 18 ....[/tex3]

Perceba, contudo, que ela jamais conseguirá ser menor ou igual a zero. Isso quer dizer que [tex3]g(x)=2^x[/tex3]

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[tex3]g(x)=2^x[/tex3]

é limitada inferiormente por zero. Então a sua imagem é [tex3]]0;\infty[[/tex3]

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[tex3]]0;\infty[[/tex3]

Voltando para a nossa função [tex3]f(x)=2^{bx+c}+a[/tex3]

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[tex3]f(x)=2^{bx+c}+a[/tex3]

, perceba que existe esse valor [tex3]a[/tex3]

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[tex3]a[/tex3]

. Ele é quem vai determinar esse "limite inferior", que, no caso é -1, já que a imagem da função é [tex3]]-1;\infty[[/tex3]

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[tex3]]-1;\infty[[/tex3]

. O que esse valor [tex3]a[/tex3]

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[tex3]a[/tex3]

faz, de fato, é deslocar verticalmente a função. Nesse caso, desloca para baixo, já que o valor é negativo.

Então já sabemos [tex3]a=-1[/tex3]

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[tex3]a=-1[/tex3]

. Observando os outros dados do problema:

gráfico de f intercepta os eixos coordenados nos pontos (1, 0)

[tex3]f(1)=0\rightarrow 2^{b+c}+a=0\rightarrow 2^{b+c}=-a=1[/tex3]

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[tex3]f(1)=0\rightarrow 2^{b+c}+a=0\rightarrow 2^{b+c}=-a=1[/tex3]

(eq. I)

gráfico de f intercepta os eixos coordenados nos pontos (0, -3/4)

[tex3]f(0)=-\frac 34\rightarrow 2^{c}+a=-\frac 34 \rightarrow 2^c=\frac 14[/tex3]

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[tex3]f(0)=-\frac 34\rightarrow 2^{c}+a=-\frac 34 \rightarrow 2^c=\frac 14[/tex3]

(eq. II)

Na equação (II): [tex3]2^c=\frac 14\rightarrow 2^c=2^{-2}\rightarrow \boxed{c=-2}[/tex3]

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[tex3]2^c=\frac 14\rightarrow 2^c=2^{-2}\rightarrow \boxed{c=-2}[/tex3]

Na equação (I): [tex3]2^{b+c}=1\rightarrow b+c=0\rightarrow \boxed{b=2}[/tex3]

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[tex3]2^{b+c}=1\rightarrow b+c=0\rightarrow \boxed{b=2}[/tex3]

Então, o produto abc vale

[tex3]abc=(-1)\cdot 2\cdot (-2)=\boxed{4}[/tex3]

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[tex3]abc=(-1)\cdot 2\cdot (-2)=\boxed{4}[/tex3]

[mcarvalho]

Eu achei estranho o meu resultado não ter batido com o gabarito nem com as alternativas, então fui pesquisar. Com efeito: a questão é da Fuvest 2011, o enunciado está exatamente igual ao seu, porém as alternativas estão completamente diferentes. A resposta é a que eu cheguei, mesmo. Veja aqui.

[ASPIRADEDEU]

Eu achei estranho o meu resultado não ter batido com o gabarito nem com as alternativas, então fui pesquisar. Com efeito: a questão é da Fuvest 2011, o enunciado está exatamente igual ao seu, porém as alternativas estão completamente diferentes. A resposta é a que eu cheguei, mesmo. Veja aqui.

Sim, tava errada no simulado que eu fez fui ver agora vlw pela resolução