Pré-Vestibular ⇒ Poliedros - UERJ Tópico resolvido

[BrunoCFS]

(Uerj) Um icosaedro regular tem 20 faces e 12 vértices, a partir dos quais retiram-se 12 pirâmides congruentes. As medidas das arestas dessas pirâmides são iguais a 1/3 da aresta do icosaedro. O que resta é um tipo de poliedro usado na fabricação de bolas. Observe as figuras.

p.png (11.14 KiB) Exibido 7197 vezes

Para confeccionar uma bola de futebol, um artesão usa esse novo poliedro, no qual cada gomo é uma face. Ao costurar dois gomos para unir duas faces do poliedro, ele gasta 7 cm de linha. Depois de pronta a bola, o artesão gastou, no mínimo, um comprimento de linha igual a:

a) 7,0 m
b) 6,3 m
c) 4,9 m
d) 2,1 m

Resposta

---

b

[baltuilhe]

Boa noite!

No novo sólido teremos 12 faces pentagonais (faces que 'surgem' ao se retirar as 12 pirâmides congruentes) e 20 faces hexagonais (faces que antes eram as faces triangulares do icosaedro).
Então, total de faces: 12 + 20 = 32 faces.
Mas, se somarmos o total de arestas por face, contaremos o dobro de arestas do poliedro, uma vez que entre duas faces tem uma aresta comum.
Portanto:
[tex3]2A=12\cdot 5+20\cdot 6=60+120=180\\A=\dfrac{180}{2}=90[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2A=12\cdot 5+20\cdot 6=60+120=180\\A=\dfrac{180}{2}=90[/tex3]

Como temos 90 arestas, e para cada aresta usamos 7 cm de linha:
[tex3]90\cdot 7=630\text{ cm}=6,3\text{ m}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]90\cdot 7=630\text{ cm}=6,3\text{ m}[/tex3]

Resposta: b)

Espero ter ajudado!

[BrunoCFS]

Boa noite!

No novo sólido teremos 12 faces pentagonais (faces que 'surgem' ao se retirar as 12 pirâmides congruentes) e 20 faces hexagonais (faces que antes eram as faces triangulares do icosaedro).

MAS COMO VOCÊ PODE AFIRMAR QUE O SÓLIDO NOVO VAI TER 12 FACES PENTAGONAIS ? SE A QUESTÃO DIZ QUE SERÃO RETIRADAS 12 TRIÂNGULOS CONGRUENTES , E O SÓLIDO ANTIGO TINHA 20 FACES E 12 VÉRTICES, POREM ELE NÃO DIZ SE SÃO HEXAGONAIS, POIS NO PRIMEIRO DESENHO ERAM TRIÂNGULOS. ISSO QUE NÃO ENTENDI, COMO AS 20 FACES E 12 VÉRTICES SE TRANSFORMARAM EM 12 FACES PENTAGONAIS.

Então, total de faces: 12 + 20 = 32 faces.
Mas, se somarmos o total de arestas por face, contaremos o dobro de arestas do poliedro, uma vez que entre duas faces tem uma aresta comum.
Portanto:
[tex3]2A=12\cdot 5+20\cdot 6=60+120=180\\A=\dfrac{180}{2}=90[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2A=12\cdot 5+20\cdot 6=60+120=180\\A=\dfrac{180}{2}=90[/tex3]

Como temos 90 arestas, e para cada aresta usamos 7 cm de linha:
[tex3]90\cdot 7=630\text{ cm}=6,3\text{ m}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]90\cdot 7=630\text{ cm}=6,3\text{ m}[/tex3]

Resposta: b)

Espero ter ajudado!

[baltuilhe]

Boa noite!

O que aconteceu é o que está nas figuras abaixo.
Ao cortar uma 'quina' surge uma nova face, essa pensagonal, e as outras faces que irão surgir, serão hexagonais, pois cada 'quina' de um triangulo vira um novo lado, dobrando então, de 3 para 6 arestas por face.

Bola de futebol.png (170.35 KiB) Exibido 7146 vezes